מבחן לדוגמה: אינטגרל של 1/x ושל 1/(ax+b) - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את השטח המוצלל.

מצאו את $a$.

האם החישוב נכון? אם כן, נמקו; אם לא, הסבירו מהי הטעות.

חשבו את $\int_{-4}^{-1}\frac{1}{x}\,dx$.

הראו כי $f(x)=2+\frac{3}{2x-1}$.

מצאו פונקציה קדומה של $f(x)$ בתחום $x>\frac12$, ופונקציה קדומה של $f(x)$ בתחום $x<\frac12$.

חשבו את $\int_{-1}^{0}f(x)\,dx$ ואת $\int_{1}^{2}f(x)\,dx$, והראו כי סכום שני האינטגרלים הוא מספר שלם.

מצאו את כל ערכי $a$ המקיימים את השוויון.

הביעו את $I(a)$ ואת $J(a)$ באמצעות $a$.

מצאו את הערך של $a$ שעבורו $J(a)-I(a)=\ln\frac32$.

הראו כי לכל $a>1$ מתקיים $0<J(a)-I(a)<\ln2$. האם קיים $a>1$ שעבורו $J(a)=I(a)+\ln2$? נמקו.