דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: אינטגרל של 1/x ושל 1/(ax+b) - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על אינטגרל של 1/x ושל 1/(ax+b), לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מציאת פרמטר כשערך האינטגרל ידוע, שאלה שבה תלמיד חישב אינטגרל על קטע שמכיל את x=0 וצריך למצוא את הטעות, שטח כלוא בין גרף, ישר וציר, סכום של תשעה אינטגרלים, והשוואה בין שני אינטגרלים שתלויים בפרמטר. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם בינוניות וקשות. שאלת הטעות של התלמיד טובה במיוחד לדיון בכיתה או לבוחן, וכל השאלות מגיעות עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

20 שאלותקלה: 14בינונית: 4קשה: 2

שאלה 1 · אינטגרל של 1/x ושל 1/(ax+b)שאלה קצרה · קלה

נתון כי ∫01aax+1 dx=ln⁡3\int_{0}^{1}\frac{a}{ax+1}\,dx=\ln3, כאשר a>−1a>-1 הוא פרמטר (ולכן המכנה חיובי בכל קטע האינטגרציה).

מצאו את aa.

שאלה 2 · אינטגרל של 1/x ושל 1/(ax+b)שאלה קצרה · בינונית

תלמיד חישב: ∫−121x dx=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\int_{-1}^{2}\frac{1}{x}\,dx=\ln2-\ln1=\ln2.

א.

האם החישוב נכון? אם כן, נמקו; אם לא, הסבירו מהי הטעות.

ב.

חשבו את ∫−4−11x dx\int_{-4}^{-1}\frac{1}{x}\,dx.

שאלה 3 · אינטגרל של 1/x ושל 1/(ax+b)שאלה קצרה · קשה

נתון כי ∫aa+11x dx=−ln⁡2\int_{a}^{a+1}\frac{1}{x}\,dx=-\ln2, כאשר aa פרמטר ממשי.

מצאו את כל ערכי aa המקיימים את השוויון.

שאלה 4 · אינטגרל של 1/x ושל 1/(ax+b)שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=62x+1f(x)=\frac{6}{2x+1}, המוגדרת עבור x>−12x>-\frac12. ברביע הראשון כלוא שטח בין גרף הפונקציה, הישר y=2y=2 וציר ה-yy (מוצלל בסרטוט).

12341234567

חשבו את השטח המוצלל.

שאלה 5 · אינטגרל של 1/x ושל 1/(ax+b)שאלה קצרה · בינונית

נתון:

I=∫01(1x+1+1x+2+1x+3+⋯+1x+9)dxI=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}+\dots+\frac{1}{x+9}\right)dx

(בסוגריים תשעה מחוברים.)

חשבו את II.

שאלה 6 · השוואת האינטגרלים של ושל על אותו קטעשאלת ביניים · קשה

לכל a>1a>1 מגדירים I(a)=∫1a1x dxI(a)=\int_{1}^{a}\frac{1}{x}\,dx ו-J(a)=∫1a22x−1 dxJ(a)=\int_{1}^{a}\frac{2}{2x-1}\,dx.

א.

הביעו את I(a)I(a) ואת J(a)J(a) באמצעות aa.

ב.

מצאו את הערך של aa שעבורו J(a)−I(a)=ln⁡32J(a)-I(a)=\ln\frac32.

ג.

הראו כי לכל a>1a>1 מתקיים 0<J(a)−I(a)<ln⁡20<J(a)-I(a)<\ln2. האם קיים a>1a>1 שעבורו J(a)=I(a)+ln⁡2J(a)=I(a)+\ln2? נמקו.

שאלה 7 · אינטגרל מסוים של הפרש שני שברים מהצורה שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה h(x)=1x+1−15−xh(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{5-x} בתחום −1<x<5-1<x<5.

חשבו את ∫02h(x) dx\int_0^2h(x)\,dx.

שאלה 8 · פונקציה קדומה של בשני תחומים ואינטגרלים מסוימיםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=4x+12x−1f(x)=\frac{4x+1}{2x-1}, המוגדרת לכל x≠12x\ne\frac12.

א.

הראו כי f(x)=2+32x−1f(x)=2+\frac{3}{2x-1}.

ב.

מצאו פונקציה קדומה של f(x)f(x) בתחום x>12x>\frac12, ופונקציה קדומה של f(x)f(x) בתחום x<12x<\frac12.

ג.

חשבו את ∫−10f(x) dx\int_{-1}^{0}f(x)\,dx ואת ∫12f(x) dx\int_{1}^{2}f(x)\,dx, והראו כי סכום שני האינטגרלים הוא מספר שלם.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (12)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

  • חישובי שטחים עם 1/(ax+b) (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x−1x+1f(x)=\frac{x-1}{x+1}. בסרטוט מוצלל השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xx והישרים x=0x=0…

  • מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · קלה)

    נתונות הפונקציות f(x)=1xf(x)=\frac1x ו-g(x)=1x+2g(x)=\frac{1}{x+2} בתחום x>0x>0. עבור k>1k>1 מסמנים ב-AA את השטח המוגבל על…

  • אינטגרל מסוים שתוצאתו לוגריתם (שאלה קצרה · קלה)

    נתון כי k>0k>0, ומתקיים השוויון ∫0k42x+1 dx=∫0k3x+1 dx\int_0^k\frac{4}{2x+1}\,dx=\int_0^k\frac{3}{x+1}\,dx.

  • אינטגרל מסוים שתוצאתו לוגריתם (שאלה קצרה · קלה)

    נתון האינטגרל I=∫01(1x+1+1x+2+1x+3+⋯+1x+9)dxI=\int_0^1\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}+\dots+\frac{1}{x+9}\right)dx…

  • חישובי שטחים עם 1/(ax+b) (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=1xf(x)=\frac1x. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1. בשרטוט מתוארים גרף הפונקציה, המשיק…

  • חישובי שטחים עם 1/(ax+b) (שאלה קצרה · קלה)

    נתונות הפונקציות f(x)=4xf(x)=\frac4x ו-g(x)=42x−1g(x)=\frac{4}{2x-1} בתחום x>12x>\frac12.

  • חישובי שטחים עם 1/(ax+b) (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=62x+1f(x)=\frac{6}{2x+1}. בשרטוט מתוארים גרף הפונקציה והישר y=2y=2.

  • חישובי שטחים עם 1/(ax+b) (שאלה קצרה · קלה)

    נתונות הפונקציות f(x)=2x+2f(x)=\frac{2}{x+2} ו-g(x)=24−xg(x)=\frac{2}{4-x}.

  • אינטגרל מסוים שתוצאתו לוגריתם (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה הפונקציה h(x)=1x+1−15−xh(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{5-x} בתחום −1<x<5-1<x<5.

  • שטח בין הגרפים של k/(2−x) ו-k/(2+x) (שאלה מלאה · בינונית)

    לפניך הגרפים של הפונקציות f(x)=k2−xf(x)=\frac{k}{2-x} ו-g(x)=k2+xg(x)=\frac{k}{2+x} עבור y>0y>0. kk הוא פרמטר חיובי.

  • שטח בין הגרפים של k/(3−x) ו-k/(3+x) (שאלה מלאה · קלה)

    לפניכם הגרפים של הפונקציות f(x)=k3−xf(x)=\frac{k}{3-x} ו-g(x)=k3+xg(x)=\frac{k}{3+x} עבור y>0y>0. kk הוא פרמטר חיובי.

  • שטח ואינטגרל בין k/(4−x) ו-k/(4+x) (שאלה מלאה · קלה)

    לפניכם הגרפים של הפונקציות f(x)=k4−xf(x)=\frac{k}{4-x} ו-g(x)=k4+xg(x)=\frac{k}{4+x} עבור y>0y>0. kk הוא פרמטר חיובי.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.