מבחן לדוגמה: אינטגרל של f'(x)/f(x) - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

בדקו לאיזה ערך שואפת $f(x)$ כאשר $x\to-\infty$ וכאשר $x\to\infty$, וכתבו את משוואות האסימפטוטות האופקיות.

הראו כי $f'(x)=-\frac{e^x}{(e^x-1)^2}-\frac{9e^x}{(e^x-9)^2}$, והסבירו מדוע הפונקציה יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה.

הראו כי $f(x)=\frac{2e^{2x}-10e^x}{e^{2x}-10e^x+9}$, ומצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-$x$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

הראו כי המונה של $f(x)$ (בצורה שבסעיף ד) הוא הנגזרת של המכנה, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישר $x=\ln2$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{2-e^x}{e^x-2x}$, המוגדרת לכל $x$, ונתון כי $g'(x)=\frac{2f(x)}{(e^x-2x)^2}$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף $g(x)$ עם הצירים.

היעזרו בסעיף א(3) ומצאו את שיעורי נקודת המקסימום של $g(x)$. כמה נקודות מינימום יש ל-$g(x)$?

מצאו פונקציה קדומה של $h(x)$.

$a$ הוא פרמטר, $1<a<5$. נתון כי השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה $h(x)$, על-ידי ציר ה-$x$ ועל-ידי הישרים $x=e$ ו-$x=e^a$ הוא $\ln2$. מצאו את הערך של $a$.

הראו כי לכל $x>\ln4$ מתקיים $f(x)>g(x)$.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$ ובין הישרים $x=\ln5$ ו-$x=\ln7$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{6e^x}{e^{2x}-6e^x+8}$. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$.

השטח הכלוא בין הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$ ובין הישרים $x=\ln5$ ו-$x=\ln d$ ($d>5$) שווה ל-$\ln3$. מצאו את $d$.

הראו כי לכל $a>0$ יש לפונקציה $f(x)$ נקודת קיצון אחת בלבד.

נתון כי נקודת הקיצון של $f(x)$ היא בנקודה שבה $x=\frac1e$. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$, תחום ההגדרה שלה זהה לתחום של $f(x)$, ויש לה נקודת פיתול על ציר ה-$x$.

מצאו את $a$ ופונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

נתונה הפונקציה $h(x)=\ln|g(x)|$.

מצאו את תחום ההגדרה של $h(x)$, והראו כי לכל מספר ממשי $m$ יש למשוואה $h(x)=m$ בדיוק ארבעה פתרונות.

הראו כי מכפלת ארבעת הפתרונות של המשוואה $h(x)=m$ אינה תלויה ב-$m$, ומצאו אותה.