מבחן לדוגמה: שטחים עם פונקציות לוגריתמיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את $S$.

הישר $x=m$, כאשר $1<m<4$, מחלק את השטח $S$ לשני חלקים שווים. מצאו את $m$.

נתונה הפונקציה $g(x)=(x+3)(1-\ln(x))$, המוגדרת עבור $x>0$.

נתונה הפונקציה $h(x)=\frac1x\cdot g'(x)$, המוגדרת עבור $x>0$.

מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים ברביע הראשון.

חשבו את השטח המוצלל.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\ln(-f(x))$.

נסמן ב-$a$ את שיעור ה-$x$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ וגרף הפונקציה $g(x)$.

מבין הביטויים I-III קבעו איזה ביטוי הוא הגדול ביותר ואיזה ביטוי הוא הקטן ביותר (אין צורך למצוא את הערך של $a$). נמקו את תשובתכם.

I. $\int_{a+2}^{a+3}(g(x)-f(x))dx$

II. $\int_{a+5}^{a+6}(g(x)-f(x))dx$

III. המספר 1.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

נתונות הפונקציות: $g(x)=(\ln(x)-1)^2-4$, $h(x)=\frac{f(x)}{x^2}$ המוגדרות בתחום: $x>0$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$.

דרך נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה-$x$ העבירו אנכים לציר ה-$x$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי גרף הפונקציה $h(x)$ ועל ידי האנכים.

הביעו באמצעות $a$ את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

מצאו את $f'(x)$, ומצאו לאילו ערכים של $a$ הפונקציה $f(x)$ עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

הציבו $a=5$.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגן.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{a+\ln(x)}{x\cdot\ln(x)}$, ו-$k>1$ פרמטר.

הביעו באמצעות $a$ ו-$k$ את $\int_{e^k}^{e^{2k}}g(x)\,dx$.

נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=e^3$ ו-$x=e^6$ הוא $3+\ln8$.

מצאו את $a$. האם בעבור ערך זה הפונקציה $f(x)$ עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה? נמקו.