דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: שטחים עם פונקציות לוגריתמיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על שטחים עם פונקציות לוגריתמיות לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן שטח מתחת לגרף 4/x, שטח בין גרף ln x לצירים ולישר אופקי, שטח בין גרף ln x למיתר, שטח בין גרף למשיקים שלו, ושטח כלוא בין 6/x לבין פרבולה. זה שיעור גדול, עם שאלות ברמה קלה ובינונית ומעט קשות. אפשר להרכיב ממנו מבחן, בוחן או דף עבודה בשטחים, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

111 שאלותקלה: 55בינונית: 45קשה: 11

שאלה 1 · שטחים עם פונקציות לוגריתמיותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=4xf(x)=\frac{4}{x}, המוגדרת עבור x>0x>0. נסמן ב-SS את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4 (מוצלל בסרטוט).

א.

חשבו את SS.

ב.

הישר x=mx=m, כאשר 1<m<41<m<4, מחלק את השטח SS לשני חלקים שווים. מצאו את mm.

שאלה 2 · שטחים עם פונקציות לוגריתמיותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x, המוגדרת עבור x>0x>0. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר y=1y=1 מוצלל בסרטוט.

א.

הראו כי הפונקציה F(x)=xln⁡x−xF(x)=x\ln x-x היא פונקציה קדומה של f(x)f(x).

ב.

חשבו את השטח המוצלל.

שאלה 3 · שטחים עם פונקציות לוגריתמיותשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^2+1}, המוגדרת לכל xx. לגרף הפונקציה מעבירים שני משיקים: משיק בראשית הצירים, ומשיק בנקודת המקסימום AA של הפונקציה. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ושני המשיקים מוצלל בסרטוט.

A

חשבו את השטח המוצלל.

שאלה 4 · פונקציה לוגריתמית: חקירה, ושטח (בלי פרמטר)שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=xln⁡(x)−1f(x)=\frac{x}{\ln(x)-1}.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

הראו כי f′(x)=ln⁡(x)−2(ln⁡(x)−1)2f'(x)=\frac{\ln(x)-2}{\left(\ln(x)-1\right)^2}, ומצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

נתון: כאשר x→0+x\to0^+, f(x)→0f(x)\to0.

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x) ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

ג.

הראו כי G(x)=(ln⁡(x)−1)22G(x)=\frac{\left(\ln(x)-1\right)^2}{2} היא פונקציה קדומה של g(x)g(x) בתחום x>ex>e, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x), ציר ה-xx והישרים x=e2x=e^2 ו-x=e3x=e^3.

שאלה 5 · שטחים עם פונקציות לוגריתמיותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x, המוגדרת עבור x>0x>0. הנקודות A(1,0)A(1,0) ו-B(e,1)B(e,1) נמצאות על גרף הפונקציה, והמיתר ABAB מחבר ביניהן (ראו סרטוט). ניתן להשתמש בעובדה: ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C.

א.

מצאו את משוואת הישר ABAB.

ב.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין המיתר ABAB.

שאלה 6 · משפחת פונקציות : מקום הקיצונים, מספר פתרונות ושטח הפוךשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xln⁡(x)−af(x)=\frac{x}{\ln(x)-a}, כאשר aa הוא פרמטר (מספר ממשי כלשהו).

א.

מצאו, באמצעות aa, את תחום ההגדרה של f(x)f(x) ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

ב.

הראו כי לכל ערך של aa נקודת הקיצון של f(x)f(x) נמצאת על ישר קבוע אחד, ומצאו את משוואתו.

ג.

מצאו, באמצעות aa, את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=m לכל ערך של mm.

ד.

השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}, ציר ה-xx והישרים x=ea+1x=e^{a+1} ו-x=kx=k (k>ea+1k>e^{a+1}) הוא 2. הביעו את kk באמצעות aa.

שאלה 7 · פונקציה לוגריתמית: מינימום, מונוטוניות ושטח מתחת לצירשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x)+3xf(x)=\ln(x)+\frac3x.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=(x+3)(1−ln⁡(x))g(x)=(x+3)(1-\ln(x)), המוגדרת עבור x>0x>0.

(1)

הראו כי g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x).

(2)

היעזרו בסעיף א(2), והסבירו מדוע הפונקציה g(x)g(x) יורדת בכל תחום ההגדרה שלה.

(3)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x) עם ציר ה-xx.

ג.

נתונה הפונקציה h(x)=1x⋅g′(x)h(x)=\frac1x\cdot g'(x), המוגדרת עבור x>0x>0.

(1)

הראו כי h(x)=−ln⁡xx−3x2h(x)=-\frac{\ln x}{x}-\frac3{x^2}, וכי h(x)<0h(x)<0 עבור x≥1x\ge1.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה h(x)h(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישרים x=1x=1 ו-x=ex=e.

שאלה 8 · שטחים עם פונקציות לוגריתמיותשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=6xf(x)=\frac{6}{x} ו-g(x)=7−x2g(x)=7-x^2. ברביע הראשון הגרפים של שתי הפונקציות כולאים שטח (מוצלל בסרטוט).

א.

מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים ברביע הראשון.

ב.

חשבו את השטח המוצלל.

שאלה 9 · פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: מתי g יורדת ואיפה הפיתולשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=ln⁡(x)+axf(x)=\ln(x)+\frac ax ו-g(x)=(x+a)(1−ln⁡(x))g(x)=(x+a)(1-\ln(x)), המוגדרות עבור x>0x>0. a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aa את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

מצאו את כל ערכי aa שעבורם הפונקציה g(x)g(x) יורדת בכל תחום ההגדרה שלה.

ג.

מצאו את הערך של aa שעבורו נקודת הפיתול של g(x)g(x) נמצאת על ציר ה-xx.

ד.

נתון: a=ea=e. נגדיר h(x)=1x⋅g′(x)h(x)=\frac1x\cdot g'(x).

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה h(x)h(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישרים x=1x=1 ו-x=ex=e.

שאלה 10 · פונקציה לוגריתמית: חקירה, ln של פונקציה ואינטגרלשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=ln⁡(x)+2ln⁡(x)−2f(x)=\frac{\ln(x)+2}{\ln(x)-2}.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(4)

מצאו את תחומי הירידה של הפונקציה f(x)f(x).

(5)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ב.

הראו כי f(x)>1f(x)>1 לכל x>e2x>e^2, והסבירו מדוע למשוואה f(x)=f′(x)f(x)=f'(x) אין פתרון בתחום x>e2x>e^2.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡(f(x))g(x)=\ln(f(x)).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x).

(2)

מצאו את האסימפטוטות של g(x)g(x) המאונכות לצירים, וסרטטו סקיצה של גרף g(x)g(x).

ד.

נסמן ב-SS את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x), ציר ה-xx והישרים x=8x=8 ו-x=10x=10.

הסבירו מדוע g(x)>0g(x)>0 בקטע 8≤x≤108\le x\le10, והביעו באמצעות SS את ∫810ln⁡(3f(x)) dx\int_8^{10}\ln(3f(x))\,dx.

עוד 36 שאלות על שטחים עם פונקציות לוגריתמיות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: חקירה, הפונקציה ההופכית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ax(ln⁡(x)−a)2f(x)=\frac{ax}{\left(\ln(x)-a\right)^2}, a>0a>0 הוא פרמטר. בסעיפים א-ב, הביעו את תשובותיכם באמצעות aa, אם יש צורך.

  2. ההפרש בין f ל-ln(-f): מספר פתרונות והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=3−ln⁡xln⁡x−1f(x)=\frac{3-\ln x}{\ln x-1}, ונתונה הפונקציה g(x)=ln⁡(−f(x))g(x)=\ln(-f(x)).

  3. הפונקציה ln(-f) על תחום חסום וסימן של אינטגרל (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1+ln⁡xln⁡xf(x)=\frac{1+\ln x}{\ln x}.

  4. שטחים עם פונקציות לוגריתמיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה h(x)=ln⁡(x)xh(x)=\frac{\ln(x)}{x}.

  5. פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: מונוטוניות, חיוביות ושטח (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x((ln⁡x)2−2ln⁡x+k)f(x)=x\left((\ln x)^2-2\ln x+k\right), המוגדרת בתחום x>0x>0. kk הוא פרמטר.

  6. פונקציה לוגריתמית: נגזרת שהיא ריבוע ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x((ln⁡x)2+2ln⁡x+2)f(x)=x\left((\ln x)^2+2\ln x+2\right), המוגדרת בתחום x>0x>0.

  7. פונקציה לוגריתמית ופונקציה שנגזרתה מינוס הפונקציה: חקירה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=2ln⁡(x)+1xf(x)=2\ln(x)+\frac1x.

  8. ln(xⁿ) עם n כללי: מספר פתרונות ובעיה הפוכה בשטח (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(xn)f(x)=\ln\left(x^n\right), nn הוא מספר טבעי זוגי, והפונקציה g(x)=(f(x))2−4g(x)=\left(f(x)\right)^2-4 המוגדרת לכל x≠0x\neq0.

  9. ביטוי ריבועי בלוגריתם: חיתוכים, קיצון ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2)f(x)=\ln\left(x^2\right).

  10. שטחים עם פונקציות לוגריתמיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה h(x)=−ln⁡xx−2x2h(x)=-\frac{\ln x}{x}-\frac{2}{x^2}, המוגדרת עבור x>0x>0.

  11. מנה לוגריתמית עם פרמטר: מתי היא עולה, ופרמטר משטח (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x⋅ln⁡(x)a+ln⁡(x)f(x)=\frac{x\cdot\ln(x)}{a+\ln(x)}, aa הוא פרמטר חיובי.

  12. חקירת מנה לוגריתמית ושטח - עם הדרכה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=x⋅ln⁡(x)3+ln⁡(x)f(x)=\frac{x\cdot\ln(x)}{3+\ln(x)}.

  13. פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: חקירה, ln של פונקציה ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2ln⁡(x)+ln⁡(a)ln⁡(x)−ln⁡(a)f(x)=\frac{2\ln(x)+\ln(a)}{\ln(x)-\ln(a)}, aa הוא פרמטר גדול מ-1. בסעיפים א-ג הביעו את תשובותיכם באמצעות aa אם יש צורך.

  14. הבעת באמצעות שטח, כשהגרף מתחת לציר (שאלה קצרה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ln⁡(x)+2ln⁡(a)ln⁡(x)−ln⁡(a)f(x)=\frac{\ln(x)+2\ln(a)}{\ln(x)-\ln(a)}, aa הוא פרמטר, 0<a<10<a<1. נתון: הפונקציה f(x)f(x) עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה,…

  15. פונקציה מעריכית: אסימפטוטות, סקיצה ושטח (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1ex−1+9ex−9+2f(x)=\frac{1}{e^x-1}+\frac{9}{e^x-9}+2.

  16. פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר ואינטגרל של פונקציה שלילית (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ln⁡(x)+2ln⁡(a)ln⁡(x)−ln⁡(a)f(x)=\frac{\ln(x)+2\ln(a)}{\ln(x)-\ln(a)}, aa הוא פרמטר חיובי, a≠1a\ne1. הביעו את תשובותיכם באמצעות aa אם יש צורך.

  17. שטחים עם ועם (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x((ln⁡(x))2−4ln⁡(x)+5)f(x)=x\left((\ln(x))^2-4\ln(x)+5\right), המוגדרת בתחום: x>0x>0. נתון כי f′(x)=(ln⁡x−1)2f'(x)=(\ln x-1)^2. (הדרכה: (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\frac1x,…

  18. השטח בין ההיפרבולה לפרבולה (שאלה קצרה · קלה)

    נתונות הפונקציות f(x)=6xf(x)=\frac{6}{x} ו-g(x)=7−x2g(x)=7-x^2. ברביע הראשון הגרפים של שתי הפונקציות כולאים שטח (מוצלל בסרטוט). הגרפים נחתכים ברביע…

  19. שטחים עם פונקציות לוגריתמיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונות הפונקציות f(x)=ln⁡x+1ln⁡x−1f(x)=\frac{\ln x+1}{\ln x-1} ו-g(x)=ln⁡(f(x))g(x)=\ln(f(x)). נסמן ב-SS את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x), ציר ה-xx והישרים x=4x=4…

  20. חקירת פונקציה לוגריתמית, ln(-f) והשוואת אינטגרלים בלי חישוב (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1−ln⁡x1+ln⁡xf(x)=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}.

  21. שטחים עם פונקציות לוגריתמיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה d(x)=ln⁡xx+1+xx+1d(x)=\ln\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x+1}, בתחום x>0x>0.

  22. פונקציה לוגריתמית: חקירה, גרף הנגזרת ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x((ln⁡(x))2−4ln⁡(x)+5)f(x)=x\left((\ln(x))^2-4\ln(x)+5\right), המוגדרת בתחום: x>0x>0.

  23. שטחים עם פונקציות לוגריתמיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה F(x)=x(ln⁡x)2−2xln⁡x+2xF(x)=x(\ln x)^2-2x\ln x+2x, המוגדרת בתחום x>0x>0.

  24. שטחים עם פונקציות לוגריתמיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה h(x)=(ln⁡x)2+1xh(x)=\frac{(\ln x)^2+1}x, המוגדרת בתחום x>0x>0. (הדרכה: (ln⁡x)2x=(ln⁡x)2⋅(ln⁡x)′\frac{(\ln x)^2}{x}=(\ln x)^2\cdot(\ln x)'.)

  25. הפונקציה ln(1/xⁿ): זיהוי גרף, ביטוי ריבועי בלוגריתם ושטח של g'/g (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(1xn)f(x)=\ln\left(\frac{1}{x^n}\right), nn הוא מספר טבעי זוגי. לסעיף א(2) - ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  26. הפונקציה : זיהוי גרף, ביטוי ריבועי בלוגריתם ושטח של g'/g (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)nf(x)=\left(\ln x\right)^n, nn הוא מספר טבעי זוגי. לסעיף א(2) - ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  27. חקירת מנה לוגריתמית והפונקציה ההופכית - אסימפטוטה ב-e⁻² (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x⋅ln⁡(x)2+ln⁡(x)f(x)=\frac{x\cdot\ln(x)}{2+\ln(x)}.

  28. שטחים עם פונקציות לוגריתמיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה g(x)=1+ln⁡2(x)x⋅ln⁡(x)g(x)=\frac{1+\ln^2(x)}{x\cdot\ln(x)}.

  29. חקירת , הפונקציה ההופכית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=x⋅(ln⁡x)23+ln⁡(x)f(x)=\frac{x\cdot(\ln x)^2}{3+\ln(x)}.

  30. שטחים עם פונקציות לוגריתמיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונות הפונקציות f(x)=3ex+1f(x)=\frac{3}{e^x+1} ו-g(x)=x−ln⁡(ex+1)g(x)=x-\ln(e^x+1).

  31. חקירת , הפונקציה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=xn⋅(ln⁡x−1)2f(x)=x^n\cdot(\ln x-1)^2 המוגדרת בתחום x>0x>0. nn הוא פרמטר טבעי.

  32. פונקציה מעריכית עם פרמטר: אסימפטוטות, סקיצה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1ex−1+7ex−7+af(x)=\frac{1}{e^x-1}+\frac{7}{e^x-7}+a. aa הוא פרמטר.

  33. פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר החיתוכים לפי הפרמטר ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2ex−2+8ex−8+af(x)=\frac{2}{e^x-2}+\frac{8}{e^x-8}+a. aa הוא פרמטר.

  34. סכום שברים עם ו- ופרמטר: אסימפטוטות, סקיצה ושטח בעזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=6e2x−3+4ex−4+af(x)=\frac{6}{e^{2x}-3}+\frac{4}{e^x-4}+a. aa הוא פרמטר.

  35. מציאת גבול כך שהשטח מתחת ל- יהיה 2 (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה h(x)=ln⁡(x)xh(x)=\frac{\ln(x)}{x}. (הדרכה: ln⁡xx=ln⁡x⋅(ln⁡x)′\frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot(\ln x)'.)

  36. שטח מול אינטגרל כשהמונה הוא מינוס נגזרת המכנה (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה הפונקציה g(x)=2−exex−2xg(x)=\frac{2-e^x}{e^x-2x}, המוגדרת לכל xx.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (57)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.