מבחן לדוגמה: מציאת פונקציה לפי נגזרת ונקודה - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את $a$ ואת הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

נתונה הפונקציה $g(x)$, המוגדרת בתחום $x>0$, ומקיימת $g'(x)=f(x)$ ו-$g(1)=0$.

נתונה הפונקציה $h(x)=1+\frac8{g(x)}$.

היעזרו בכך ש-$h'(x)=-\frac{8g'(x)}{g^2(x)}$, ומצאו את נקודת הקיצון של $h(x)$ וקבעו את סוגה.

מצאו את $a$.

מצאו את הפונקציה $f(x)$.

בתת סעיפים (1)-(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$, אם יש צורך.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{2}{x}$, המוגדרת בתחום $x\neq0$. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ וגרף הפונקציה $g(x)$ נחתכים בנקודה שבה $x=e$.

מצאו את הערך של $a$.

מצאו את $h(x)$.

קבעו איזה גרף מבין הגרפים I-IV מייצג את הפונקציה $|h(x)|$. נמקו את תשובתכם.

נתונה הפונקציה $h(x)$, המוגדרת בתחום $x>0$, שגרפה עובר בנקודה $(1,0)$, ונגזרתה מקיימת $h'(x)=f(x)-g(x)$.

מצאו את $h(x)$ באמצעות $a$.

מצאו, באמצעות $a$, את כל ערכי $m$ שעבורם למשוואה $h(x)=m$ יש בדיוק שני פתרונות.

נתון כי הערך הקטן ביותר של $h(x)$ הוא $-8$, ושתי נקודות החיתוך של גרף $h(x)$ עם ציר ה-$x$ נמצאות בתחום $x\ge1$.

מצאו את הערך של $a$ ואת $h(x)$.

הראו כי לכל $a>0$ יש לפונקציה $f(x)$ נקודת קיצון אחת בלבד.

נתון כי נקודת הקיצון של $f(x)$ היא בנקודה שבה $x=\frac1e$. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$, תחום ההגדרה שלה זהה לתחום של $f(x)$, ויש לה נקודת פיתול על ציר ה-$x$.

מצאו את $a$ ופונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

נתונה הפונקציה $h(x)=\ln|g(x)|$.

מצאו את תחום ההגדרה של $h(x)$, והראו כי לכל מספר ממשי $m$ יש למשוואה $h(x)=m$ בדיוק ארבעה פתרונות.

הראו כי מכפלת ארבעת הפתרונות של המשוואה $h(x)=m$ אינה תלויה ב-$m$, ומצאו אותה.