מבחן לדוגמה: הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנונית - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת המדריך שלה.

הראו כי $c=3+\frac{t^2}{6}$.

הראו כי המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות $M$ הוא פרבולה, מצאו את משוואתו וסרטטו אותו.

הנקודה $P(3,6)$ היא אחת הנקודות $M$. מצאו את משוואת המשיק למקום הגאומטרי בנקודה זו, והראו שהוא מקביל לישר $AC$ המתאים לה.

$\ell$ הוא המשיק למקום הגאומטרי בנקודה $M$ שמצאתם בסעיף ד(2). הוא מקביל ל-$AC$.

חשבו את המרחק בין הישרים $\ell$ ו-$AC$, ומצאו את מרכז המעגל שעובר דרך $A$ ומשיק לשני הישרים.

מצאו את שיעורי כל הנקודות $P$ על הפרבולה שמרחקן מהמוקד $F$ גדול פי $\frac{5}{4}$ ממרחקן מציר ה-$x$.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת שיעורי המוקד $F$.

הנקודה $P$ נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה, ומרחקה מהמוקד הוא $PF=15$. מצאו את שיעורי $P$.

מעגל שמרכזו $P$ עובר דרך המוקד $F$. מצאו את משוואת המעגל, הראו שהוא משיק למדריך הפרבולה, ומצאו את נקודת ההשקה.

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים $\ell_1$ ו-$\ell_2$.

מעגל שרדיוסו 10 משיק לישרים $\ell_1$ ו-$\ell_2$, ומרכזו M נמצא ברביע הראשון. מצאו את שיעורי M ואת שיעורי נקודת ההשקה של המעגל עם $\ell_1$.

הישר $\ell_2$ הוא מדריך של פרבולה קנונית. נסמן ב-$(c,0)$ את מרכזו של מעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות.

הביעו באמצעות $c$ את ריבוע הרדיוס של המעגל, ומצאו לאילו ערכי $c$ קיים מעגל כזה.

מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות ומשיק גם לישר $\ell_1$.

מצאו את משוואת הישר $AB$.

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה $M$ של המעגל והצלע $AB$, ואת שטח המעוין.

מן הנקודה $M$ מורידים אנך לציר ה-$x$ החותך אותו בנקודה $K(a,0)$. על הישר $x=-a$ מסמנים נקודה $E$ ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-$x$. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע $EK$ בנקודה $G$.

מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות $G$ המתקבלות באופן זה.

הנקודה $N$ נמצאת ברביע הראשון על המקום הגאומטרי שמצאתם.

מצאו את שיעורי $N$ שעבורה המעגל שמרכזו $N$ ועובר דרך הנקודה $K$ משיק למעגל החסום במעוין. קבעו איזה משני המעגלים מכיל את האחר.