שאלות פתוחות: הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנונית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הפרבולה כמקום גאומטרי - מוקד, מדריך ומשוואה קנונית - לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן שימוש בהגדרת הפרבולה כדי למצוא נקודה לפי מרחקה מהמוקד, מיתר שעובר דרך המוקד, סכום מרחקים מינימלי כשנקודה נעה על הפרבולה, ופרבולה ואליפסה עם מוקד משותף. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

40 שאלותקלה: 9בינונית: 25קשה: 6

שאלה 1 · הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנוניתשאלה קצרה · קלה

הנקודה AAA נמצאת ברביע הראשון על פרבולה קנונית y2=2pxy^2=2pxy2=2px (p>0p>0p>0) שמוקדה FFF. נתון: AF=13AF=13AF=13, ומרחקה של AAA מציר ה-yyy הוא 999.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת שיעורי הנקודה AAA.

שאלה 2 · הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנוניתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפרבולה y2=2pxy^2=2pxy2=2px (p>0p>0p>0) שמוקדה FFF. המיתר ABABAB של הפרבולה עובר דרך המוקד FFF. הנקודה AAA נמצאת ברביע הראשון, ונתון: AF=6AF=6AF=6, BF=3BF=3BF=3.

א.

מצאו את ppp.

ב.

מצאו את משוואת הישר ABABAB.

שאלה 3 · פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: מיקום מרכז המעגל לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

הנקודה F(t,0)F(t,0)F(t,0), כאשר t>0t>0t>0, היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 2a2a2a, כאשר a>ta>ta>t הוא פרמטר.
המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בנקודות AAA ו-BBB (AAA מעל BBB). ישר המאונך לציר ה-xxx ועובר ב-FFF חותך את הפרבולה בנקודות CCC ו-DDD (CCC מעל DDD).
הביעו את תשובותיכם באמצעות aaa ו-ttt, אם יש צורך.

א.

מצאו את משוואת הפרבולה, את משוואת האליפסה ואת שיעורי הנקודות AAA, BBB, CCC ו-DDD.

ב.

הסבירו מדוע הנקודות AAA, BBB, CCC ו-DDD נמצאות על מעגל אחד, והביעו את שיעור ה-xxx של מרכז המעגל.

ג.

מצאו את כל הערכים של aaa שבעבורם מרכז המעגל נמצא מימין לציר ה-yyy.

ד.

האם יש ערך של aaa שבעבורו המרובע ABDCABDCABDC הוא מלבן? האם יש ערך של aaa שבעבורו הוא ריבוע? נמקו.

שאלה 4 · פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: טרפז חסום במעגל (מספרי)שאלה מלאה · קלה

הנקודה F(3,0)F(3,0)F(3,0) היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 18.

א.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת האליפסה.

ב.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בנקודות AAA ו-BBB. הנקודה AAA נמצאת מעל לנקודה BBB.

מצאו את משוואת המדריך של הפרבולה ואת שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ג.

הישר x=3x=3x=3 עובר במוקד FFF וחותך את הפרבולה בנקודות CCC ו-DDD. הנקודה CCC נמצאת מעל לנקודה DDD.

מצאו את שיעורי הנקודות CCC ו-DDD.

ד.

(1)

הראו כי המרובע ABDCABDCABDC הוא טרפז שווה-שוקיים, והסבירו מדוע יש מעגל שעובר דרך ארבעת הקודקודים שלו.

(2)

הסבירו מדוע מרכז המעגל נמצא על ציר ה-xxx, ומצאו את שיעורי המרכז ואת רדיוס המעגל.

שאלה 5 · הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנוניתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפרבולה y2=8xy^2=8xy2=8x שמוקדה FFF, והנקודה A(5,3)A(5,3)A(5,3). הנקודה PPP נעה על הפרבולה.
y2=8x
-2246-6-4-2246FA

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה הסכום PA+PFPA+PFPA+PF הוא הקטן ביותר, וחשבו את הסכום במקרה זה.

שאלה 6 · אליפסה ופרבולה: מתי נקודה על הפרבולה נותנת היקף קטן יותרשאלה מלאה · קשה

נתונה אליפסה שמשוואתה: x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=125x2​+9y2​=1. הנקודה F1F_1F1​ היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה F2F_2F2​ היא המוקד השמאלי שלה. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על פרבולה שמשוואתה קנונית והמוקד שלה בנקודה F1F_1F1​. נסמן AF1=dAF_1=dAF1​=d.

א.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת המדריך שלה.

ב.

הביעו באמצעות ddd את שיעורי הנקודה A. לאילו ערכי ddd קיימת נקודה A כזאת?

ג.

AF1AF_1AF1​ הוא קוטר במעגל. הוכיחו כי לכל ערך של ddd המעגל משיק לציר ה-yyy.

ד.

D היא נקודה על האליפסה. מצאו את כל הערכים של ddd שעבורם היקף המשולש F1AF2F_1AF_2F1​AF2​ קטן מהיקף המשולש F1DF2F_1DF_2F1​DF2​.

שאלה 7 · אליפסה ופרבולה עם מוקד משותף: מעגל משיק והיקף משולששאלה מלאה · קלה

נתונה אליפסה שמשוואתה: x236+y220=1\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=136x2​+20y2​=1. הנקודה F1F_1F1​ היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה F2F_2F2​ היא המוקד השמאלי שלה.

א.

מצאו את שיעורי הנקודות F1F_1F1​ ו-F2F_2F2​.

ב.

נתונה פרבולה שמשוואתה קנונית, והמוקד שלה נמצא בנקודה F1F_1F1​.

(1)

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת המדריך שלה.

(2)

הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה, ומתקיים AF1=8AF_1=8AF1​=8. מצאו את שיעורי הנקודה A.

ג.

AF1AF_1AF1​ הוא קוטר במעגל.

(1)

מצאו את משוואת המעגל.

(2)

הראו כי הישר שמשוואתו 3x+4y=483x+4y=483x+4y=48 משיק למעגל.

ד.

D היא נקודה על האליפסה.

(1)

הסבירו מדוע היקף המשולש F1DF2F_1DF_2F1​DF2​ אינו תלוי במיקום הנקודה D על האליפסה, וחשבו אותו.

(2)

קבעו אם היקף המשולש F1AF2F_1AF_2F1​AF2​ גדול מהיקף המשולש F1DF2F_1DF_2F1​DF2​, קטן ממנו או שווה לו.

שאלה 8 · הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנוניתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפרבולה y2=8xy^2=8xy2=8x שמוקדה FFF.

מצאו את שיעורי כל הנקודות PPP על הפרבולה שמרחקן מהמוקד FFF גדול פי 54\frac{5}{4}45​ ממרחקן מציר ה-xxx.

שאלה 9 · מעגלים המשיקים לישר ולפרבולה בשתי נקודותשאלה מלאה · קשה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:4x+3y+8=0\ell_1: 4x+3y+8=0ℓ1​:4x+3y+8=0, ℓ2:x=−4\ell_2: x=-4ℓ2​:x=−4.

א.

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ב.

מעגל שרדיוסו 10 משיק לישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​, ומרכזו M נמצא ברביע הראשון. מצאו את שיעורי M ואת שיעורי נקודת ההשקה של המעגל עם ℓ1\ell_1ℓ1​.

ג.

הישר ℓ2\ell_2ℓ2​ הוא מדריך של פרבולה קנונית. נסמן ב-(c,0)(c,0)(c,0) את מרכזו של מעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות.

הביעו באמצעות ccc את ריבוע הרדיוס של המעגל, ומצאו לאילו ערכי ccc קיים מעגל כזה.

ד.

מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות ומשיק גם לישר ℓ1\ell_1ℓ1​.

שאלה 10 · מרחק מישרים, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולהשאלה מלאה · קלה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1:3x+4y−22=0\ell_1: 3x+4y-22=0ℓ1​:3x+4y−22=0, ℓ2:x=−2\ell_2: x=-2ℓ2​:x=−2.
ℓ1ℓ2
MA

א.

(1)

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את המרחק של נקודה (x,y)(x,y)(x,y) מהישר ℓ1\ell_1ℓ1​ ואת המרחק שלה מהישר ℓ2\ell_2ℓ2​.

(2)

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ב.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​. המעגל משיק לישר ℓ1\ell_1ℓ1​ בנקודה A(2,4)A(2,4)A(2,4), והמרכז M נמצא על הישר y=12x+8y=\frac12x+8y=21​x+8 (ראו סרטוט).

(1)

מצאו את משוואת הישר שעובר דרך A ומאונך ל-ℓ1\ell_1ℓ1​.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה M ואת רדיוס המעגל.

ג.

הישר ℓ2\ell_2ℓ2​ הוא המדריך של הפרבולה y2=8xy^2=8xy2=8x.

הראו כי A נמצאת על הפרבולה, ובדקו אם הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ משיק לפרבולה בנקודה A.

ד.

מעגל משיק לפרבולה בשתי נקודות שאחת מהן היא A. הסבירו מדוע מרכזו על ציר ה-xxx, ומצאו את משוואתו.

עוד 22 שאלות על הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנונית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנונית (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודה $P$ נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה $y^2=2px$ ( $p>0$ ) שמוקדה $F$ . נתון: $PF=9$ , ומרחקה של $P$ מראשית הצירים הוא $2\sqrt{15}$ .
מעוין סביב מעגל: משיק מנקודה חיצונית, מקום גאומטרי ומעגל דרך המוקד (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעוין $ABCD$ שאלכסוניו מונחים על הצירים: הקודקוד $A$ על החלק החיובי של ציר ה- $x$ והקודקוד $B$ על החלק החיובי של ציר ה- $y$ . המעגל…
משיקים לשני מעגלים: מקום גאומטרי ומשיק לפרבולה (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל I שמשוואתו: $x^2+(y-3)^2=9$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x-4)^2+(y-1)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. $M(x,y)$ היא נקודה מחוץ…
פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: מעגל דרך ארבע נקודות חיתוך (שאלה מלאה · בינונית)
הנקודה $(t,0)$ היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. $t$ הוא פרמטר חיובי. אורך הציר המשני של האליפסה הוא $2t$ . בסעיפים שלפניכם…
זיהוי המוקד והמדריך של $x^{2} = 2 p y$ ושימוש בהגדרת הפרבולה (שאלה קצרה · קשה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם: $(0,a)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה- $y$ של הקודקוד $B$ הוא…
מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעוין $ABCD$ שאלכסוניו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט. הקודקודים: $A(10,0)$ , $B(0,5)$ , $C(-10,0)$ , $D(0,-5)$ .
אליפסה, פרבולה ומעגל: נקודה מחוץ לאליפסה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה אליפסה שמשוואתה: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{100-k^2}=1$ , $0<k<10$ . הנקודה $F_1$ היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה $F_2$ היא המוקד…
מדריך, נקודה ממרחק מוקדי ומעגל שקוטרו רדיוס מוקדי (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הנקודה $F_1(k,0)$ , כאשר $0<k<10$ .
מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה, מוקד ומעגל (שאלה מלאה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם $(3,0)$ . שיעור ה- $x$ של הקודקוד $B$ הוא $-3$ . הצלע $BC$ מקבילה לציר…
הפרבולה כמקום גאומטרי: מוקד, מדריך ומשוואה קנונית (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על פרבולה שמשוואתה קנונית, והמוקד שלה F נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$ . שיעור ה- $x$ של הנקודה A הוא 8,…
מעגל שקוטרו קטע, פרבולה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הנקודות $A(-8,0)$ ו- $B(17,0)$ . הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
חוצי זווית ומעגלים המשיקים לישרים ולפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 5y-12x+140=0$ , $\ell_2: x=-5$ .
משוואת פרבולה קנונית ומדריכה משיעור נקודה וממרחקה מהמוקד (שאלה קצרה · קלה)
הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על פרבולה שמשוואתה קנונית, והמוקד שלה F נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$ . שיעור ה- $x$ של הנקודה A הוא 8,…
שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-4)^2+(y-1)^2=4$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+2)^2+(y-4)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על…
שני מעגלים: המשיק הקצר ביותר וזווית ישרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים המעגלים: $(x-1)^2+(y-2)^2=1$ , שמרכזו בנקודה K, ו- $(x-6)^2+(y-7)^2=31$ , שמרכזו בנקודה L. מנקודה M שמחוץ לשני המעגלים מעבירים משיק אחד…
מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה, מקום גאומטרי פרבולה ומעגלים משיקים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: אורך האלכסון $BD$ הוא 20. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין…
מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה אנכית, משיק ומעגל (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם: $(0,a)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה- $y$ של הקודקוד $B$ הוא…
מעגל של זווית ישרה, פרבולה שמוקדה במרכזו ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(-8a,0)$ ו- $B(17a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
מעגל של זווית ישרה, פרבולה הפתוחה שמאלה ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(-6a,0)$ ו- $B(4a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
פרבולה וישר $y = 2 x$ : מעגל שמרכזו במוקד ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון הישר $y=2x$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
פרבולה וישר שאינו עובר בראשית: מעגל שמרכזו במוקד ומקום גאומטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתון הישר $y=x-1.5p$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.
פרבולה שציר הסימטריה שלה ציר ה-y: מוקד, נקודה ממרחק מוקדי ומעגל המשיק למדריך (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה פרבולה שמשוואתה קנונית, ציר הסימטריה שלה הוא ציר ה- $y$ , והמדריך שלה הוא הישר $y=-3$ . $F$ הוא מוקד הפרבולה.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף: ארבע נקודות על מעגל · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 1
הנקודה $(t,0)$ היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. $t$ הוא פרמטר חיובי. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא $4t$ . בסעיפים שלפניך הבע את תשובותיך…
אליפסה, פרבולה ומעגל: מוקדים, משיק והיקף משולש · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
נתונה אליפסה שמשוואתה: $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{144-4k^2}=1$ , $0<k<6$ . הנקודה $F_1$ היא המוקד הימני של האליפסה, והנקודה $F_2$ היא המוקד השמאלי שלה.
חוצי זווית, מעגל המשיק לשני ישרים ומעגל המשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונים הישרים שמשוואותיהם: $\ell_1: 4y-3x-20=0$ , $\ell_2: x=-4$ .
שני מעגלים ומשיקים: מקום גאומטרי, שטח משולש ומשיק לפרבולה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
נתון מעגל I שמשוואתו: $(x-3)^2+(y-4)^2=9$ , ומרכזו בנקודה K. נתון מעגל II שמשוואתו: $(x+5)^2+(y-2)^2=1$ , ומרכזו בנקודה L. הנקודה A נמצאת על מעגל I, והנקודה B…
מעוין על הצירים: מעגל חסום, נקודת השקה, מקום גאומטרי פרבולה ומעגלים משיקים · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
נתון מעוין $ABCD$ . אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט שלפניכם. נתון: אורך האלכסון $AC$ הוא 10. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין מראשית הצירים הוא…
מקום גאומטרי של אמצע היתר: פרבולה, משיק ומעגל בין ישרים מקבילים · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 1
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ), שיעורי הקודקוד $A$ הם: $(a,0)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מאפס. שיעור ה- $x$ של הקודקוד $B$ הוא $-a$ . הצלע $BC$ מקבילה…
מקום גאומטרי של זווית ישרה, פרבולה ומשיקים מקבילים · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 1
נתונות הנקודות $A(-9a,0)$ ו- $B(41a,0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB=90^\circ$ .
פרבולה, משיק ומעגל שמרכזו במוקד: מקום גאומטרי של מרכזי מעגלים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
נתון הישר $y=x$ ונתונה הפרבולה $y^2=2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.