מבחן לדוגמה: תכונות הסימטריה של הפרבולה מתוך המשוואה - כיתה י"ב 5 יח"ל

סרטטו את העקום המתואר על ידי המשוואה הנתונה. סרטטו את שתי האפשרויות במערכת צירים אחת.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים $\ell_1$ ו-$\ell_2$. המעגל משיק לישר $\ell_1$ בנקודה $A(2,4)$, והמרכז M נמצא על הישר $y=\frac12x+8$ (ראו סרטוט).

הישר $\ell_2$ הוא המדריך של הפרבולה $y^2=8x$.

הראו כי A נמצאת על הפרבולה, ובדקו אם הישר $\ell_1$ משיק לפרבולה בנקודה A.

מעגל משיק לפרבולה בשתי נקודות שאחת מהן היא A. הסבירו מדוע מרכזו על ציר ה-$x$, ומצאו את משוואתו.

קבעו לפי המשוואה מהו ציר הסימטריה של הפרבולה ולאיזה כיוון היא פתוחה, ונמקו. מצאו את המוקד $F$ של הפרבולה ואת משוואת המדריך.

הישר העובר דרך המוקד $F$ ומקביל לציר ה-$x$ חותך את הפרבולה בנקודות $A$ ו-$B$ ($x_A>0$). מצאו את שיעורי $A$ ו-$B$, והסבירו מדוע הנקודה $F$ היא אמצע הקטע $AB$.

חשבו את הזווית $AOB$. עגלו את התשובה לעשירית המעלה.

הביעו באמצעות $a$ את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות $M$.

סרטטו את העקום המתואר על ידי המשוואה שמצאתם בסעיף א. סרטטו את שתי האפשרויות במערכת צירים אחת.

באחת מן הנקודות $M$, שנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר $\ell$ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הוכיחו כי הישר $\ell$ מקביל לישר $AC$.

נתון גם כי: $AM=13$ (הנקודה $M$ נמצאת ברביע הראשון), והקודקוד $B$ נמצא על הישר: $y=-4$.

מצאו את שיעורי הקודקודים $B$ ו-$C$.

דרך הקודקוד $A$ העבירו מעגל המשיק לישרים $\ell$ ו-$AC$.

מצאו את שיעורי מרכז המעגל.

מצאו את $k$.

הראו כי אם הנקודה $(a,b)$ נמצאת על פרבולה I, אז הנקודה $(b,a)$ נמצאת על פרבולה II, ולהפך. הסבירו מדוע שתי הפרבולות סימטריות זו לזו ביחס לישר $y=x$.

מצאו את נקודות החיתוך של שתי הפרבולות, והסבירו מדוע נקודת החיתוך $A$ שאינה הראשית נמצאת על הישר $y=x$.

נסמן ב-$F_1$ את מוקד פרבולה I וב-$F_2$ את מוקד פרבולה II. הראו כי הישר $y=x$ הוא האנך האמצעי של הקטע $F_1F_2$, וחשבו את שטח המרובע $OF_1AF_2$.