שאלות פתוחות: תכונות הסימטריה של הפרבולה מתוך המשוואה - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$, וחשבו את שטח המשולש $OAB$.

מצאו את שיעורי הקודקודים $A$ ו-$B$, וחשבו את אורך צלע המשולש.

מצאו את $k$.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים $\ell_1$ ו-$\ell_2$. המעגל משיק לישר $\ell_1$ בנקודה $A(2,4)$, והמרכז M נמצא על הישר $y=\frac12x+8$ (ראו סרטוט).

הישר $\ell_2$ הוא המדריך של הפרבולה $y^2=8x$.

הראו כי A נמצאת על הפרבולה, ובדקו אם הישר $\ell_1$ משיק לפרבולה בנקודה A.

מעגל משיק לפרבולה בשתי נקודות שאחת מהן היא A. הסבירו מדוע מרכזו על ציר ה-$x$, ומצאו את משוואתו.

הוכיחו כי המיתר $AB$ מאונך לציר ה-$x$.

הראו כי אם הנקודה $(a,b)$ נמצאת על פרבולה I, אז הנקודה $(b,a)$ נמצאת על פרבולה II, ולהפך. הסבירו מדוע שתי הפרבולות סימטריות זו לזו ביחס לישר $y=x$.

מצאו את נקודות החיתוך של שתי הפרבולות, והסבירו מדוע נקודת החיתוך $A$ שאינה הראשית נמצאת על הישר $y=x$.

נסמן ב-$F_1$ את מוקד פרבולה I וב-$F_2$ את מוקד פרבולה II. הראו כי הישר $y=x$ הוא האנך האמצעי של הקטע $F_1F_2$, וחשבו את שטח המרובע $OF_1AF_2$.

הראו כי $c=3+\frac{t^2}{6}$.

הראו כי המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות $M$ הוא פרבולה, מצאו את משוואתו וסרטטו אותו.

הנקודה $P(3,6)$ היא אחת הנקודות $M$. מצאו את משוואת המשיק למקום הגאומטרי בנקודה זו, והראו שהוא מקביל לישר $AC$ המתאים לה.

$\ell$ הוא המשיק למקום הגאומטרי בנקודה $M$ שמצאתם בסעיף ד(2). הוא מקביל ל-$AC$.

חשבו את המרחק בין הישרים $\ell$ ו-$AC$, ומצאו את מרכז המעגל שעובר דרך $A$ ומשיק לשני הישרים.

מצאו עבור אילו ערכים של $k$ המשולש $OAB$ הוא קהה-זווית.

סרטטו את העקום המתואר על ידי המשוואה הנתונה. סרטטו את שתי האפשרויות במערכת צירים אחת.

מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים $\ell_1$ ו-$\ell_2$.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים $\ell_1$ ו-$\ell_2$. המעגל משיק לישר $\ell_1$ בנקודה A שבה $x=20$. המרכז M נמצא ברביע הראשון (ראו סרטוט).

מצאו את שיעורי הנקודה M.

הישר $\ell_2$ הוא מדריך של פרבולה קנונית.

האם הישר $\ell_1$ משיק בנקודה A לפרבולה זו? נמקו את תשובתכם.

מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה זו בשתי נקודות שאחת מהן היא הנקודה A.