מבחן לדוגמה: מקומות גאומטריים שהם פרבולה - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל המרכזים $M$, וקבעו איזה עקום הוא.

מצאו את מרכזי המעגלים מהמשפחה הזו שרדיוסם $6$.

הראו כי $c=3+\frac{t^2}{6}$.

הראו כי המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות $M$ הוא פרבולה, מצאו את משוואתו וסרטטו אותו.

הנקודה $P(3,6)$ היא אחת הנקודות $M$. מצאו את משוואת המשיק למקום הגאומטרי בנקודה זו, והראו שהוא מקביל לישר $AC$ המתאים לה.

$\ell$ הוא המשיק למקום הגאומטרי בנקודה $M$ שמצאתם בסעיף ד(2). הוא מקביל ל-$AC$.

חשבו את המרחק בין הישרים $\ell$ ו-$AC$, ומצאו את מרכז המעגל שעובר דרך $A$ ומשיק לשני הישרים.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $G$ המתקבלות באופן זה הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

מצאו את שיעורי הנקודה $G$ שברביע הראשון שעבורה המשולש $EGK$ שווה צלעות.

מן הנקודה $M$ מורידים אנך לציר ה-$x$ החותך אותו בנקודה $K(a,0)$. על הישר $x=-a$ מסמנים נקודה $E$ ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה-$x$. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע $EK$ בנקודה $G$.

הסבירו מדוע הנקודה $G$ נמצאת במרחק שווה מהנקודה $K$ ומהישר $x=-a$, ומצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $G$.

הנקודה $N$ נמצאת ברביע הראשון על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א, ושיעור ה-$x$ שלה הוא 10.

מצאו את משוואת המעגל שמרכזו $N$ והוא משיק מבחוץ למעגל החסום במעוין.

הביעו באמצעות $a$ את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל הנקודות $M$.

באחת מן הנקודות $M$, שנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר $\ell$ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. דרך הקודקוד $A$ העבירו מעגל המשיק לישרים $\ell$ ו-$AC$.

הוכיחו כי כאשר $M$ נעה ברביע הראשון, מרכזי כל המעגלים האלה נמצאים על ישר אחד, ומצאו את משוואתו באמצעות $a$.

נתון כי מרכז המעגל הוא $(2,2)$.

מצאו את $a$ ואת שיעורי הקודקודים $B$ ו-$C$.

הוכיחו כי לכל ערך של $t$ הנקודה B נמצאת על ציר ה-$y$, והביעו את שיעוריה באמצעות $t$.

הביעו באמצעות $p$ ו-$t$ את משוואת מעגל I.

נתון כי שטח המשולש AFB הוא 20. מצאו את שיעורי הנקודה A.

הנקודה A נעה על הפרבולה ברביע הראשון. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של אמצע הקטע AB.