מבחן לדוגמה: הצגה פרמטרית של מישור - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את ערך $k$.

הראו כי המכפלה הסקלרית של וקטור הכיוון של $\ell$ בווקטור הנורמל של $\pi$ היא $-m^2+4m-10$, והסבירו מדוע לכל ערך של $m$ הישר $\ell$ אינו מקביל למישור $\pi$.

נתון כי הישר $\ell$ ניצב למישור $\pi$ וחותך אותו בנקודה $A$.

כאשר ישר ניצב למישור, וקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל. פתרו את המשוואה $\frac{m}{2}=\frac{4-m}{m}$, ובדקו עבור כל פתרון אם $\ell$ ניצב ל-$\pi$. מהו $m$?

מצאו את שיעורי הנקודה $A$.

בדקו אם הנקודה $Q(9,-14,7)$ נמצאת על הישר $\ell$, וקבעו כמה מישורים מכילים את הישר $\ell$ ועוברים דרך $Q$. נמקו.

הסבירו מדוע קבוצה זו היא משולש, ומצאו את שיעורי קודקודיו.

חשבו את שטח המשולש.

הוכיחו כי האלכסון $BD'$ מאונך למישור $ACB'$.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש $ACB'$.

נתון: $D(0,0,0)$, $C(5,12,0)$, $A(12,n,p)$, $n$ ו-$p$ הם פרמטרים. שיעור ה-$z$ של הנקודה $B'$ הוא חיובי.

$\ell$ הוא ישר החיתוך בין המישור $ACB'$ ובין המישור $ABB'A'$.

מצאו הצגה פרמטרית של הישר $\ell$.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר $\ell$ ואינו חותך את ציר ה-$y$.

הראו כי הנקודה $P(2,1,1)$ נמצאת במישור $\pi$, והביעו כל אחד מהווקטורים $(1,2,1)$ ו-$(1,0,-1)$ כצירוף לינארי של הווקטורים $(1,1,0)$ ו-$(0,1,1)$.

הסבירו מדוע ההצגה הפרמטרית השנייה מתארת את המישור $\pi$.

האם קיימת נקודה שמתקבלת בשתי ההצגות עבור אותם ערכי $t$ ו-$s$? אם כן, מצאו אותה; אם לא, נמקו.

הביעו את $\overrightarrow{EA}$ ו-$\overrightarrow{EC}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$.

הביעו את $\overrightarrow{BM}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$.

חשבו את המרחק בין הנקודה $B$ ובין המישור $AEC$.

הנקודה $N$ היא השיקוף של הנקודה $B$ ביחס למישור $AEC$. הביעו את $\overrightarrow{AN}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$, וקבעו אם $N$ נמצאת בתוך התיבה. נמקו.