שאלות פתוחות: הצגה פרמטרית של מישור - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הצגה פרמטרית של מישור לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות עוסקות בבדיקה אם נקודה נמצאת במישור, ארבע נקודות במישור אחד ומציאת פרמטר, השוואה בין שתי הצגות פרמטריות של אותו מישור, משולש שמתואר על ידי תנאים על הפרמטרים, ומישור בתוך תיבה. רוב השאלות ברמה בינונית, לצד קלות וקשות. אפשר לבנות מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

27 שאלותקלה: 7בינונית: 16קשה: 4

שאלה 1 · הצגה פרמטרית של מישורשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(1,0,0)A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,1,0)B(0,1,0)B(0,1,0), C(0,0,1)C(0,0,1)C(0,0,1) (ראו סרטוט) והנקודה D(a,a,a)D(a,a,a)D(a,a,a), כאשר aaa פרמטר.
OABCxyz

א.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור ABCABCABC, ומצאו את ערך aaa שעבורו הנקודה DDD נמצאת במישור זה.

ב.

עבור ערך aaa שמצאתם, קבעו אם הנקודה DDD נמצאת בתוך המשולש ABCABCABC. נמקו.

שאלה 2 · הצגה פרמטרית של מישורשאלה קצרה · בינונית

נתונה קבוצת כל הנקודות x‾=(1,0,0)+t(2,1,2)+s(2,−2,−1)\underline{x}=(1,0,0)+t(2,1,2)+s(2,-2,-1)x​=(1,0,0)+t(2,1,2)+s(2,−2,−1) שעבורן t≥0t\ge0t≥0, s≥0s\ge0s≥0 ו-t+s≤1t+s\le1t+s≤1.

א.

הסבירו מדוע קבוצה זו היא משולש, ומצאו את שיעורי קודקודיו.

ב.

חשבו את שטח המשולש.

שאלה 3 · משפחה של ישרים ומישורים: מישור משותף וישר משותףשאלה מלאה · קשה

נתונים הישר ℓ\ellℓ והמישור π\piπ. ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ\ellℓ היא: x‾=(5,−2,0)+t⋅(m−3,3−m,−2)\underline{x}=(5,-2,0)+t\cdot(m-3,3-m,-2)x​=(5,−2,0)+t⋅(m−3,3−m,−2). משוואת המישור π\piπ היא: 3x+my+(m+4)z−2=03x+my+(m+4)z-2=03x+my+(m+4)z−2=0. mmm הוא פרמטר.

א.

הראו כי לכל ערך של mmm הישר ℓ\ellℓ אינו מקביל למישור π\piπ.

ב.

הוכיחו כי כל הישרים ℓ\ellℓ (לכל ערכי mmm) נמצאים במישור אחד, ומצאו את משוואתו.

ג.

נתון כי הישר ℓ\ellℓ ניצב למישור π\piπ וחותך אותו בנקודה AAA.

מצאו את הערך של mmm ואת שיעורי הנקודה AAA.

ד.

הוכיחו כי כל המישורים π\piπ (לכל ערכי mmm) עוברים דרך ישר אחד, ומצאו את הצגתו הפרמטרית. האם יש נקודה המשותפת לכל הישרים ℓ\ellℓ ולכל המישורים π\piπ? נמקו.

שאלה 4 · הצגה פרמטרית של מישורשאלה קצרה · קלה

נתון המישור π: x‾=(1,2,3)+t(1,0,−1)+s(2,1,0)\pi:\ \underline{x}=(1,2,3)+t(1,0,-1)+s(2,1,0)π: x​=(1,2,3)+t(1,0,−1)+s(2,1,0).

א.

מצאו הצגה פרמטרית של ישר החיתוך של המישור π\piπ עם המישור xyxyxy (המישור z=0z=0z=0).

ב.

הראו כי המישור π\piπ עובר דרך ראשית הצירים.

שאלה 5 · הצגה פרמטרית של מישורשאלה קצרה · בינונית

נתונות שתי הצגות פרמטריות: x‾=(1,0,1)+t(1,1,0)+s(0,1,1)\underline{x}=(1,0,1)+t(1,1,0)+s(0,1,1)x​=(1,0,1)+t(1,1,0)+s(0,1,1) ו-x‾=(2,1,1)+t(1,2,1)+s(1,0,−1)\underline{x}=(2,1,1)+t(1,2,1)+s(1,0,-1)x​=(2,1,1)+t(1,2,1)+s(1,0,−1).

א.

הראו כי שתי ההצגות מתארות את אותו מישור π\piπ, ומצאו את משוואתו.

ב.

האם קיימת נקודה ב-π\piπ שמתקבלת בשתי ההצגות עבור אותם ערכי ttt ו-sss? אם כן, מצאו אותה; אם לא, נמקו.

שאלה 6 · וקטורים בתיבה: מציאת עקב האנך, מרחק ושיקוף במישורשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נסמן: AD→=u‾\overrightarrow{AD}=\underline uAD=u​, AB→=v‾\overrightarrow{AB}=\underline vAB=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​. נתון: ∣u‾∣=1|\underline u|=1∣u​∣=1, ∣v‾∣=2|\underline v|=2∣v​∣=2, ∣w‾∣=2|\underline w|=2∣w​∣=2. הנקודה EEE היא אמצע המקצוע BB′BB'BB′. MMM היא הנקודה במישור AECAECAEC שעבורה BM→\overrightarrow{BM}BM מאונך למישור AECAECAEC.
AA'DD'BB'CC'E

א.

הביעו את EA→\overrightarrow{EA}EA ו-EC→\overrightarrow{EC}EC באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ב.

הביעו את BM→\overrightarrow{BM}BM באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ג.

חשבו את המרחק בין הנקודה BBB ובין המישור AECAECAEC.

ד.

הנקודה NNN היא השיקוף של הנקודה BBB ביחס למישור AECAECAEC. הביעו את AN→\overrightarrow{AN}AN באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​, וקבעו אם NNN נמצאת בתוך התיבה. נמקו.

שאלה 7 · הצגה פרמטרית של מישורשאלה קצרה · קלה

נתון המישור π: x‾=(1,1,−1)+t(2,1,0)+s(1,2,1)\pi:\ \underline{x}=(1,1,-1)+t(2,1,0)+s(1,2,1)π: x​=(1,1,−1)+t(2,1,0)+s(1,2,1). ידוע כי הנקודה P(k,5,1)P(k,5,1)P(k,5,1) נמצאת במישור π\piπ.

א.

מצאו את ערך kkk.

ב.

מצאו את משוואת המישור π\piπ.

שאלה 8 · ריבוע במרחב ופירמידה שקודקודה על ישר נתוןשאלה מלאה · בינונית

נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: A(−6,p,3)A(-6,p,3)A(−6,p,3), B(−2,−2,5)B(-2,-2,5)B(−2,−2,5), C(2,0,1)C(2,0,1)C(2,0,1), D(−2,4,−1)D(-2,4,-1)D(−2,4,−1), ppp הוא פרמטר.

א.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

ב.

חשבו את ערך הפרמטר ppp.

ג.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

ד.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: x‾=(0,−2,−1)+t(1,1,1)\underline x=(0,-2,-1)+t(1,1,1)x​=(0,−2,−1)+t(1,1,1). נתון כי נפח הפירמידה הוא 60.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ה.

נתון מישור נוסף π\piπ המאונך למקצוע SC.

מצאו את הזווית שבין המישור ABCD ובין המישור π\piπ.

שאלה 9 · הצגה פרמטרית עם תנאים על הפרמטרים: זיהוי משולש וקודקודיושאלה קצרה · קשה

נתונה קבוצת כל הנקודות x‾=(1,0,0)+t(2,1,2)+s(2,−2,−1)\underline{x}=(1,0,0)+t(2,1,2)+s(2,-2,-1)x​=(1,0,0)+t(2,1,2)+s(2,−2,−1) שעבורן t≥0t\ge0t≥0, s≥0s\ge0s≥0 ו-t+s≤1t+s\le1t+s≤1.

הסבירו מדוע קבוצה זו היא משולש, ומצאו את שיעורי קודקודיו.

שאלה 10 · וקטורים בקובייה במערכת צירים: אלכסון, מפגש תיכונים וישר חיתוךשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

(1)

הביעו את הווקטורים CA′→\overrightarrow{CA'}CA′, DB→\overrightarrow{DB}DB ו-DC′→\overrightarrow{DC'}DC′ באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

(2)

הוכיחו כי CA′CA'CA′ מאונך ל-DBDBDB ול-DC′DC'DC′, והסיקו כי האלכסון CA′CA'CA′ מאונך למישור BC′DBC'DBC′D.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'DBC′D. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: CE→=13(CB→+CC′→+CD→)\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)CE=31​(CB+CC′+CD).

הראו כי CE→=13CA′→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}CE=31​CA′, והסיקו כי הנקודות C, E ו-A′A'A′ נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), A(4,0,0)A(4,0,0)A(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0)C(0,4,0). שיעור ה-zzz של הנקודה C′C'C′ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C′C'C′.

ד.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך בין המישור BC′DBC'DBC′D ובין המישור BCC′B′BCC'B'BCC′B′.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-C′C'C′ נמצאות על ℓ\ellℓ, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ellℓ.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ellℓ ואינו חותך את ציר ה-yyy.

עוד 12 שאלות על הצגה פרמטרית של מישור

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

וקטורים בקובייה: האלכסון BD' והמשולש ACB' (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
שתי הצגות פרמטריות של אותו מישור: מעבר בין הפרמטרים (שאלת ביניים · קשה)
נתון המישור $\pi:\ \underline{x}=(1,0,1)+t(1,1,0)+s(0,1,1)$ . נתונה גם ההצגה הפרמטרית $\underline{x}=(2,1,1)+t(1,2,1)+s(1,0,-1)$ .
ישר ומישור עם פרמטר: צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(5,-6,5)+t\cdot(m,4-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
הצגה פרמטרית של מישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הישר $\ell:\ \underline x=(1,2,3)+t(2,-1,1)$ .
וקטורים בתיבה: נקודה במישור ומרחק ממישור (עם אורכים נתונים) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע…
שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני ישרים $\ell_1$ ו- $\ell_2$ . לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: $\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0)$ ,…
נקודה במישור הנתון בהצגה פרמטרית: מציאת שיעור חסר (שאלה קצרה · קלה)
נתון המישור $\pi:\ \underline{x}=(1,1,-1)+t(2,1,0)+s(1,2,1)$ . ידוע כי הנקודה $P(k,5,1)$ נמצאת במישור $\pi$ .
ישר ומישור עם פרמטר: ניצבות, נקודת חיתוך ומישור יחיד (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(4,-6,5)+t\cdot(m-2,4-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור אלכסוני, אנך ומרחק (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים בפירמידה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק הקודקוד מהמישור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
כמה מישורים מכילים ישר ועוברים דרך נקודה נתונה (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הישר $\ell$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(4,-6,5)+t\cdot(-6,8,-2)$ .
בקובייה: ישר חיתוך של שני מישורים ומישור המכיל אותו ומקביל לציר (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

ריבוע במרחב ופירמידה: משוואת מישור, קודקוד על ישר וזווית בין מישורים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 2
נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: $A(4,p,-1)$ , $B(7,5,5)$ , $C(1,-1,2)$ , $D(-2,5,-4)$ , $p$ הוא פרמטר.
וקטורים בקובייה: אלכסון מאונך למישור, מפגש תיכונים, ישר ומישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AA'}=\underline w$ .
שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
נתונים שני ישרים $\ell_1$ ו- $\ell_2$ . לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: $\ell_1:\ \underline{x}=t(-1,3,0)$ , $\ell_2:\ \underline{x}=(1,-3,0)+m(0,k,1)$ .…
ישר ומישור עם פרמטר: אי-הקבלה, ניצבות, נקודת חיתוך ומישור דרך ישר ונקודה · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 2
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(-1,5,-11)+t\cdot(m-1,5-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא: $3x+my+(m+6)z+4=0$ .…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק נקודה ממישור · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BB'$ .