דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: מצב הדדי בין ישר ומישור - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על מצב הדדי בין ישר ומישור (מישורים במרחב), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
מצב הדדי בין ישר ומישור
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · מצב הדדי בין ישר ומישורשאלה קצרה · קלה

נתונים המישור π: x‾=(1,2,0)+t(1,0,2)+s(0,1,−1)\pi:\ \underline{x}=(1,2,0)+t(1,0,2)+s(0,1,-1) והישר ℓ: x‾=(3,0,1)+r(a,2,2)\ell:\ \underline{x}=(3,0,1)+r(a,2,2), כאשר aa פרמטר.

מצאו את ערך aa שעבורו הישר ℓ\ell מקביל למישור π\pi, וקבעו אם עבור ערך זה הישר מוכל במישור. נמקו.

שאלה 2 · וקטורים בתיבה: מנקודה על אלכסון לאנך למישורשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שהבסיס שלה, ABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=12AB=12, AD=6AD=6, AA′=9AA'=9. הנקודה EE נמצאת על המקצוע DD′DD' כך ש-DE:ED′=1:2DE:ED'=1:2, הנקודה FF נמצאת על האלכסון BD′BD' ומתקיים: BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}, 0<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו את הווקטורים BD′→\overrightarrow{BD'} ו-DE→\overrightarrow{DE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w.

ב.

הראו כי FE→=(t−1)u‾+(1−t)v‾+(13−t)w‾\overrightarrow{FE}=(t-1)\underline u+(1-t)\underline v+\left(\frac13-t\right)\underline w.

ג.

נתון כי FEFE מקביל למישור הבסיס ABCDABCD.

מצאו את tt. הסבירו מדוע מקדם w‾\underline w ב-FE→\overrightarrow{FE} חייב להתאפס.

ד.

הנקודה CC היא ראשית הצירים. הנקודה BB נמצאת על ציר ה-xx בכיוון החיובי שלו, הנקודה DD נמצאת על ציר ה-yy בכיוון החיובי שלו, ו-C′C' על ציר ה-zz בכיוון החיובי שלו.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות BB, DD, D′D', EE ו-FF.

(2)

הראו כי משוואת המישור BDEBDE היא 2x+y=122x+y=12, ומצאו את שיעורי הנקודה PP שבה הישר העובר דרך FF ומאונך למישור BDEBDE חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'.

שאלה 3 · מצב הדדי בין ישר ומישורשאלה קצרה · בינונית

נתונים המישור π: ax+2y−z=5\pi:\ ax+2y-z=5 והישר ℓ: x‾=(1,1,1)+t(1,0,2)\ell:\ \underline{x}=(1,1,1)+t(1,0,2), כאשר aa פרמטר.

א.

האם קיים ערך של aa שעבורו הישר ℓ\ell מוכל במישור π\pi? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו.

ב.

עבור a=3a=3 מצאו את נקודת החיתוך של ℓ\ell עם π\pi.

שאלה 4 · פירמידה בשיעורים: ישר דרך אמצע מקצוע, מקביל למקצוע, ונקודת החיתוך שלו עם פאהשאלת ביניים · בינונית

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABCSABC. הנקודה EE היא אמצע המקצוע BCBC. נסמן AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}. נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|.

CBEASF
א.

נתון: הקטע SESE הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא 30. A(0,0,0)A(0,0,0), B(24,10,0)B(24,10,0). הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy, ושיעור ה-zz של הקודקוד SS הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הקודקודים CC ו-SS.

ב.

הנקודה FF נמצאת על המקצוע SBSB כך ש-SF→=12SB→\overrightarrow{SF}=\frac12\overrightarrow{SB}. דרך הנקודה FF מעבירים ישר המקביל לישר ABAB, וחותך את המישור ACSACS בנקודה MM.

מצאו הצגה פרמטרית של הישר FMFM.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה MM.

שאלה 5 · מישור דרך אלכסון הבסיס המקביל למקצוע, חיתוכו עם מקצוע ובדיקת טענותשאלת ביניים · קשה

נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית שבה AB=ADAB=AD. SA הוא גובה הפירמידה.

ABCDS
א.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0), D(10,0,0)D(10,0,0), S(0,0,8)S(0,0,8), B(6,p,0)B(6,p,0), p>0p>0.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C.

ב.

דרך האלכסון BD מעבירים מישור המקביל למקצוע SC. המישור חותך את המקצוע SA בנקודה K.

מצאו את משוואת המישור.

ג.

הנקודה M היא נקודת מפגש האלכסונים של הבסיס. לפניכם שתי טענות I-II. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I הישר KM מקביל לישר SC.

II כל ישר שמאונך למישור BDK, מאונך לישר SC.

שאלה 6 · משפחה של ישרים ומישורים: מישור משותף וישר משותףשאלה מלאה · קשה

נתונים הישר ℓ\ell והמישור π\pi. ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ\ell היא: x‾=(5,−2,0)+t⋅(m−3,3−m,−2)\underline{x}=(5,-2,0)+t\cdot(m-3,3-m,-2). משוואת המישור π\pi היא: 3x+my+(m+4)z−2=03x+my+(m+4)z-2=0. mm הוא פרמטר.

א.

הראו כי לכל ערך של mm הישר ℓ\ell אינו מקביל למישור π\pi.

ב.

הוכיחו כי כל הישרים ℓ\ell (לכל ערכי mm) נמצאים במישור אחד, ומצאו את משוואתו.

ג.

נתון כי הישר ℓ\ell ניצב למישור π\pi וחותך אותו בנקודה AA.

מצאו את הערך של mm ואת שיעורי הנקודה AA.

ד.

הוכיחו כי כל המישורים π\pi (לכל ערכי mm) עוברים דרך ישר אחד, ומצאו את הצגתו הפרמטרית. האם יש נקודה המשותפת לכל הישרים ℓ\ell ולכל המישורים π\pi? נמקו.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.