שאלות פתוחות: מצב הדדי בין ישר ומישור - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מצב הדדי בין ישר ומישור לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת פרמטר שעבורו ישר מקביל למישור, מוכל בו או חותך אותו, ישר שמקביל לשני מישורים נתונים, היטל של ישר על מישור, ושאלות על קובייה ותיבה עם אמצע מקצוע. רוב השאלות ברמה בינונית, לצד קלות וקשות. אפשר לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

38 שאלותקלה: 8בינונית: 24קשה: 6

שאלה 1 · מצב הדדי בין ישר ומישורשאלה קצרה · קלה

נתונים המישור π: x‾=(1,2,0)+t(1,0,2)+s(0,1,−1)\pi:\ \underline{x}=(1,2,0)+t(1,0,2)+s(0,1,-1)π: x​=(1,2,0)+t(1,0,2)+s(0,1,−1) והישר ℓ: x‾=(3,0,1)+r(a,2,2)\ell:\ \underline{x}=(3,0,1)+r(a,2,2)ℓ: x​=(3,0,1)+r(a,2,2), כאשר aaa פרמטר.

מצאו את ערך aaa שעבורו הישר ℓ\ellℓ מקביל למישור π\piπ, וקבעו אם עבור ערך זה הישר מוכל במישור. נמקו.

שאלה 2 · מצב הדדי בין ישר ומישורשאלה קצרה · בינונית

נתונים המישור π: ax+2y−z=5\pi:\ ax+2y-z=5π: ax+2y−z=5 והישר ℓ: x‾=(1,1,1)+t(1,0,2)\ell:\ \underline{x}=(1,1,1)+t(1,0,2)ℓ: x​=(1,1,1)+t(1,0,2), כאשר aaa פרמטר.

א.

האם קיים ערך של aaa שעבורו הישר ℓ\ellℓ מוכל במישור π\piπ? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו.

ב.

עבור a=3a=3a=3 מצאו את נקודת החיתוך של ℓ\ellℓ עם π\piπ.

שאלה 3 · מצב הדדי בין ישר ומישורשאלה קצרה · קשה

נתונים הישר ℓ: x‾=(2,2,2)+t(1,0,1)\ell:\ \underline{x}=(2,2,2)+t(1,0,1)ℓ: x​=(2,2,2)+t(1,0,1) והמישור π: x+y+z=3\pi:\ x+y+z=3π: x+y+z=3. ההיטל של ℓ\ellℓ על π\piπ הוא הישר שעליו נמצאים עקבי האנכים המורדים מנקודות ℓ\ellℓ אל π\piπ.

מצאו הצגה פרמטרית של ההיטל של ℓ\ellℓ על π\piπ.

שאלה 4 · וקטורים בקובייה במערכת צירים: אלכסון, מפגש תיכונים וישר חיתוךשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

(1)

הביעו את הווקטורים CA′→\overrightarrow{CA'}CA′, DB→\overrightarrow{DB}DB ו-DC′→\overrightarrow{DC'}DC′ באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

(2)

הוכיחו כי CA′CA'CA′ מאונך ל-DBDBDB ול-DC′DC'DC′, והסיקו כי האלכסון CA′CA'CA′ מאונך למישור BC′DBC'DBC′D.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'DBC′D. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: CE→=13(CB→+CC′→+CD→)\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)CE=31​(CB+CC′+CD).

הראו כי CE→=13CA′→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}CE=31​CA′, והסיקו כי הנקודות C, E ו-A′A'A′ נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), A(4,0,0)A(4,0,0)A(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0)C(0,4,0). שיעור ה-zzz של הנקודה C′C'C′ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C′C'C′.

ד.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך בין המישור BC′DBC'DBC′D ובין המישור BCC′B′BCC'B'BCC′B′.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-C′C'C′ נמצאות על ℓ\ellℓ, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ellℓ.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ellℓ ואינו חותך את ציר ה-yyy.

שאלה 5 · מצב הדדי בין ישר ומישורשאלה קצרה · בינונית

הישר ℓ\ellℓ עובר דרך הנקודה P(1,2,3)P(1,2,3)P(1,2,3) ומקביל לשני המישורים x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1 ו-x−y+2z=0x-y+2z=0x−y+2z=0.

א.

מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ellℓ.

ב.

קבעו את המצב ההדדי בין הישר ℓ\ellℓ ובין המישור π: 3x+y+4z=0\pi:\ 3x+y+4z=0π: 3x+y+4z=0 (חותך, מוכל או מקביל ואינו מוכל). נמקו.

שאלה 6 · וקטורים בתיבה: עקב האנך לאלכסון ואנך שפוגע בפאהשאלה מלאה · קשה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCDABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=8AB=8AB=8, AD=6AD=6AD=6, AA′=10AA'=10AA′=10. הנקודה EEE היא אמצע המקצוע DD′DD'DD′, והנקודה FFF נמצאת על האלכסון BD′BD'BD′ כך ש-BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}BF=t⋅BD′, 0<t<10<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את BD′→\overrightarrow{BD'}BD′ ואת FE→\overrightarrow{FE}FE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt.

ב.

מצאו את ttt שעבורו FEFEFE מאונך לאלכסון BD′BD'BD′.

ג.

מצאו את המרחק של הנקודה EEE מהאלכסון BD′BD'BD′.

ד.

הנקודה CCC היא ראשית הצירים. BBB נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, DDD על החלק החיובי של ציר ה-yyy, ו-C′C'C′ על החלק החיובי של ציר ה-zzz. מכאן והלאה ttt הוא פרמטר כלשהו, 0<t<10<t<10<t<1.

(1)

הסבירו מדוע המישור EFBDEFBDEFBD אינו תלוי ב-ttt, ומצאו את משוואתו.

(2)

מן הנקודה FFF מעבירים ישר המאונך למישור EFBDEFBDEFBD. מצאו את כל ערכי ttt שעבורם הישר הזה חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'CDD′C′ (כולל שפת הפאה).

שאלה 7 · וקטורים בתיבה: מנקודה על אלכסון לאנך למישורשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCDABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=12AB=12AB=12, AD=6AD=6AD=6, AA′=9AA'=9AA′=9. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′ כך ש-DE:ED′=1:2DE:ED'=1:2DE:ED′=1:2, הנקודה FFF נמצאת על האלכסון BD′BD'BD′ ומתקיים: BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}BF=t⋅BD′, 0<t<10<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את הווקטורים BD′→\overrightarrow{BD'}BD′ ו-DE→\overrightarrow{DE}DE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​.

ב.

הראו כי FE→=(t−1)u‾+(1−t)v‾+(13−t)w‾\overrightarrow{FE}=(t-1)\underline u+(1-t)\underline v+\left(\frac13-t\right)\underline wFE=(t−1)u​+(1−t)v​+(31​−t)w​.

ג.

נתון כי FEFEFE מקביל למישור הבסיס ABCDABCDABCD.

מצאו את ttt. הסבירו מדוע מקדם w‾\underline ww​ ב-FE→\overrightarrow{FE}FE חייב להתאפס.

ד.

הנקודה CCC היא ראשית הצירים. הנקודה BBB נמצאת על ציר ה-xxx בכיוון החיובי שלו, הנקודה DDD נמצאת על ציר ה-yyy בכיוון החיובי שלו, ו-C′C'C′ על ציר ה-zzz בכיוון החיובי שלו.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, DDD, D′D'D′, EEE ו-FFF.

(2)

הראו כי משוואת המישור BDEBDEBDE היא 2x+y=122x+y=122x+y=12, ומצאו את שיעורי הנקודה PPP שבה הישר העובר דרך FFF ומאונך למישור BDEBDEBDE חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'CDD′C′.

שאלה 8 · מצב הדדי בין ישר ומישורשאלה קצרה · בינונית

נתונים הישר ℓ: x‾=(1,1,1)+t(1,2,a)\ell:\ \underline{x}=(1,1,1)+t(1,2,a)ℓ: x​=(1,1,1)+t(1,2,a) והמישור π: ax+y−z=b\pi:\ ax+y-z=bπ: ax+y−z=b, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים.

הוכיחו כי לכל ערך של aaa ושל bbb הישר ℓ\ellℓ חותך את המישור π\piπ בנקודה אחת בדיוק, והביעו באמצעות aaa ו-bbb את שיעורי נקודת החיתוך.

שאלה 9 · שני מישורים עם פרמטר: מתי ישר החיתוך פוגש מישור, ושטח כפונקציה של kשאלה מלאה · קשה

נתונים שני מישורים: π1:(k+1)x+y+(k−1)z+6=0\pi_1: (k+1)x+y+(k-1)z+6=0π1​:(k+1)x+y+(k−1)z+6=0, π2:kx+y+z−2=0\pi_2: kx+y+z-2=0π2​:kx+y+z−2=0. kkk הוא פרמטר. נסמן ב-ℓ\ellℓ את ישר החיתוך של המישורים.

א.

הסבירו מדוע לכל ערך של kkk המישורים נחתכים.

ב.

(1)

מצאו את הערך של kkk שעבורו הישר ℓ\ellℓ אינו נחתך עם המישור [yz][yz][yz]. נמקו.

(2)

עבור k≠2k\ne2k=2, הנקודה P היא נקודת החיתוך של ℓ\ellℓ עם המישור [yz][yz][yz]. הביעו את שיעורי P באמצעות kkk.

ג.

הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם π1\pi_1π1​ ועם π2\pi_2π2​ בהתאמה. מצאו את הערכים של kkk שעבורם שטח המשולש APB הוא 16.

ד.

מצאו את הזווית בין המישורים עבור כל אחד מהערכים של kkk שמצאתם בסעיף ג.

שאלה 10 · שני מישורים עם פרמטר: ישר החיתוך, זווית ונקודות חיתוךשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:(k+3)x+y+(k+2)z−2=0\pi_1: (k+3)x+y+(k+2)z-2=0π1​:(k+3)x+y+(k+2)z−2=0, π2:(k+1)x+y+z+6=0\pi_2: (k+1)x+y+z+6=0π2​:(k+1)x+y+z+6=0. kkk הוא פרמטר.

א.

הסבירו מדוע לכל ערך של kkk המישורים אינם מקבילים.

ב.

(1)

הראו כי עבור k=1k=1k=1 ישר החיתוך של המישורים, ℓ1\ell_1ℓ1​, מקביל לווקטור (−1,1,1)(-1,1,1)(−1,1,1).

(2)

מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ עבור k=1k=1k=1.

(3)

מצאו את הזווית בין המישורים עבור k=1k=1k=1.

ג.

עבור k=1k=1k=1: הנקודה P היא נקודת החיתוך של ℓ1\ell_1ℓ1​ עם המישור [yz][yz][yz], והנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של ציר ה-yyy עם π1\pi_1π1​ ועם π2\pi_2π2​ בהתאמה. מצאו את שיעורי P, A ו-B, והיעזרו בכך שהמשולש APB נמצא במישור [yz][yz][yz] כדי לחשב את שטחו.

עוד 22 שאלות על מצב הדדי בין ישר ומישור

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

וקטורים בקובייה: האלכסון BD' והמשולש ACB' (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
משפחה של ישרים ומישורים: מישור משותף וישר משותף (שאלה מלאה · קשה)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(5,-2,0)+t\cdot(m-3,3-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
ישר ומישור עם פרמטר: צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(5,-6,5)+t\cdot(m,4-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון אחר, הקבלה לבסיס ואנך למישור (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BB'$ כך ש- $BE:EB'=1:3$ , הנקודה $F$ נמצאת על…
ישר ניצב למישור בתיבה: מתי הוא פוגע בפאה (שאלה קצרה · קשה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: $AB=8$ , $AD=6$ , $AA'=10$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
פירמידה במערכת צירים: מישור המקביל למקצוע (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מלבן. SA הוא גובה הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
מצב הדדי בין ישר ומישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(6,0,0)$ , $B(0,3,0)$ , $C(0,0,6)$ והנקודה $Q(4,6,1)$ .
מישור דרך אלכסון הבסיס המקביל למקצוע, חיתוכו עם מקצוע ובדיקת טענות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית שבה $AB=AD$ . SA הוא גובה הפירמידה.
פירמידה במערכת צירים: ישר מקביל, חיתוך עם מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . $A(0,0,0)$ , $B(3,4,0)$ , $C(5,0,0)$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ .
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך מקביל, זווית ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k-2)x+y+(k-3)z+3=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-9=0$ . $k$ הוא פרמטר.
נקודת החיתוך של ישר ומישור (שאלה קצרה · קלה)
נתונים המישור $\pi:\ ax+2y-z=5$ והישר $\ell:\ \underline{x}=(1,1,1)+t(1,0,2)$ , כאשר $a$ פרמטר.
ישר ומישור עם פרמטר: ניצבות, נקודת חיתוך ומישור יחיד (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(4,-6,5)+t\cdot(m-2,4-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
מצב הדדי בין ישר ומישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישר $\ell:\ \underline x=(-3,-5,0)+t\cdot(k+1,6,2)$ והמישור $\pi:\ 2x+ky+z=7$ . $k$ הוא פרמטר. נתון כי הישר $\ell$ ניצב למישור $\pi$ .
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה N היא אמצע המקצוע SC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
מצב הדדי בין ישר ומישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המישור $\pi$ : $x+y+2z=8$ , והנקודות $S(0,0,6)$ , $B(6,0,0)$ ו- $D(0,4,4)$ .
מנסרה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל לאלכסון פאה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה משולשת: ניצבות התיכון, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה משולשת: נקודה משתנה על מקצוע ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ ,…
מצב הדדי בין ישר ומישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפירמידה $SABC$ : $A(0,0,0)$ , $B(6,0,0)$ , $C(0,6,0)$ , $S(2,2,6)$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $SB$ . דרך $F$ מעבירים ישר המקביל לישר…
פירמידה משולשת: זווית ישרה בבסיס, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EB}=\underline{u}$ ,…
ישר ניצב למישור: מציאת פרמטר ונקודת החיתוך (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(5,-2,0)+t\cdot(m-3,3-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא:…
פירמידה בשיעורים: ישר דרך אמצע מקצוע, מקביל למקצוע, ונקודת החיתוך שלו עם פאה (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בקובייה: אלכסון מאונך למישור, מפגש תיכונים, ישר ומישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AA'}=\underline w$ .
וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון, הקבלה לבסיס ואנך למישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DD'$ כך ש- $DE:ED'=3:2$ , הנקודה $F$ נמצאת על האלכסון $BD'$ …
שני מישורים עם פרמטר: ישר חיתוך, זווית ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 2
נתונים שני מישורים, $\pi_1$ ו- $\pi_2$ : $\pi_1: (k+2)x+y+(k+1)z+11=0$ , $\pi_2: (k+1)x+y+z-5=0$ . $k$ הוא פרמטר.
ישר ומישור עם פרמטר: אי-הקבלה, ניצבות, נקודת חיתוך ומישור דרך ישר ונקודה · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 2
נתונים הישר $\ell$ והמישור $\pi$ . ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ היא: $\underline{x}=(-1,5,-11)+t\cdot(m-1,5-m,-2)$ . משוואת המישור $\pi$ היא: $3x+my+(m+6)z+4=0$ .…
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה M היא אמצע האלכסון BD. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה משולשת: ניצבות, קודקודים, ישר מקביל ויחס נפחים · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AE}=\underline{u}$ . נתון:…