מבחן לדוגמה: תיבה וקובייה במערכת צירים - כיתה י"ב 5 יח"ל

הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{BD'}$ ו-$\overrightarrow{DE}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$.

הראו כי $\overrightarrow{FE}=(t-1)\underline u+(1-t)\underline v+\left(\frac13-t\right)\underline w$.

נתון כי $FE$ מקביל למישור הבסיס $ABCD$.

מצאו את $t$. הסבירו מדוע מקדם $\underline w$ ב-$\overrightarrow{FE}$ חייב להתאפס.

הנקודה $C$ היא ראשית הצירים. הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה-$x$ בכיוון החיובי שלו, הנקודה $D$ נמצאת על ציר ה-$y$ בכיוון החיובי שלו, ו-$C'$ על ציר ה-$z$ בכיוון החיובי שלו.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש $BC'D$. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: $\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)$.

הראו כי $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}$, והסיקו כי הנקודות C, E ו-$A'$ נמצאות על ישר אחד.

נתון: $D(0,0,0)$, $A(4,0,0)$, $C(0,4,0)$. שיעור ה-$z$ של הנקודה $C'$ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-$C'$.

$\ell$ הוא ישר החיתוך בין המישור $BC'D$ ובין המישור $BCC'B'$.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-$C'$ נמצאות על $\ell$, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר $\ell$.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר $\ell$ ואינו חותך את ציר ה-$y$.

מצאו את שיעורי הנקודה $P$ שעבורה $\angle BPD=120^\circ$.

הראו כי הישר AB מקביל למישור $A'B'C'D'$, ומצאו את אורך המקצוע AB.

המקצוע $BB'$ ניצב למישור $A'B'C'D'$, ולכן הנורמל של המישור הזה הוא וקטור כיוון של הישר $BB'$. מצאו את משוואת המישור $ABB'A'$.

הנקודה $M(7,6,-3)$ נמצאת על המישור $DCC'D'$. הסבירו מדוע אורך המקצוע AD שווה למרחק של M מהמישור $ABB'A'$, ומצאו את נפח התיבה.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $h$.

נתון: $D(0,0,0)$, $C(2,2,1)$, $A(2,n,p)$, $p<0$.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

שיעור ה-$z$ של הנקודה $A'$ הוא שלילי.

מצאו את שיעורי הנקודה E.

מצאו את משוואת המישור $BC'D$.