דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: תיבה וקובייה במערכת צירים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על תיבה וקובייה במערכת צירים לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות מציבות קובייה או תיבה עם מקצוע לא ידוע במערכת צירים, ומבקשות לחשב זוויות בין אלכסונים, מרחקים ומשוואות של מישורים, למצוא נקודה על מקצוע לפי תנאי, ולעבוד עם מנסרה ישרה שבסיסה ריבוע. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם כמה קשות. אפשר להרכיב מהן מבחן, בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

37 שאלותקלה: 18בינונית: 14קשה: 5

שאלה 1 · תיבה וקובייה במערכת ציריםשאלה קצרה · קלה

קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שאורך מקצועה aa מונחת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(a,0,0)B(a,0,0), D(0,a,0)D(0,a,0) ו-A′(0,0,a)A'(0,0,a) (ראו ציור). המרחק של הקודקוד AA מהמישור A′BDA'BD הוא 232\sqrt{3}.

ABCDA'B'C'D'
א.

מצאו את aa.

ב.

מצאו את הזווית בין המישור A′BDA'BD למישור הבסיס ABCDABCD.

שאלה 2 · תיבה וקובייה במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' מונחת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(a,0,0)B(a,0,0), D(0,2,0)D(0,2,0) ו-A′(0,0,2)A'(0,0,2), כאשר a>0a>0.

א.

מצאו את aa שעבורו הזווית בין המישור A′BDA'BD למישור הבסיס ABCDABCD היא 60∘60^\circ.

ב.

הראו כי לכל a>0a>0 הזווית בין המישור A′BDA'BD למישור הבסיס גדולה מ-45∘45^\circ.

שאלה 3 · תיבה וקובייה במערכת ציריםשאלה קצרה · קשה

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' מונחת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(4,0,0)B(4,0,0), D(0,4,0)D(0,4,0) ו-A′(0,0,h)A'(0,0,h), כאשר h>0h>0. הזווית בין האלכסונים AC′AC' ו-A′CA'C של התיבה היא 60∘60^\circ.

מצאו את כל הערכים האפשריים של hh.

שאלה 4 · תיבה וקובייה במערכת ציריםשאלה קצרה · קלה

תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' מונחת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(4,0,0)B(4,0,0), D(0,6,0)D(0,6,0) ו-A′(0,0,3)A'(0,0,3). הנקודה KK היא אמצע המקצוע B′C′B'C'.

מצאו את הזווית בין הישרים AKAK ו-AC′AC'.

שאלה 5 · תיבה וקובייה במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שאורך מקצועה 33 מונחת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(3,0,0)B(3,0,0), D(0,3,0)D(0,3,0) ו-A′(0,0,3)A'(0,0,3). הנקודה PP נמצאת על האלכסון AC′AC' (ראו ציור).

ABCDA'B'C'D'P

מצאו את שיעורי הנקודה PP שעבורה ∠BPD=120∘\angle BPD=120^\circ.

שאלה 6 · אלכסון של תיבה ומישור משולש: מתי ניצב ואיפה נחתךשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCD הוא ריבוע, ו-AA′=k⋅ABAA'=k\cdot AB (k>0k>0). נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.

מצאו את הערך של kk שעבורו האלכסון CA′CA' מאונך למישור BC′DBC'D.

ב.

בסעיף זה kk הוא מספר חיובי כלשהו. האלכסון CA′CA' חותך את המישור BC′DBC'D בנקודה E. הוכיחו כי E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'D, ומצאו את היחס CE:EA′CE:EA'.

ג.

נתון: kk הוא הערך שמצאתם בסעיף א, D(0,0,0)D(0,0,0), C(2,2,1)C(2,2,1), A(2,n,p)A(2,n,p), p<0p<0.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

שיעור ה-zz של הנקודה A′A' הוא שלילי.

מצאו את שיעורי הנקודה E (מסעיף ב).

ה.

מצאו את משוואת המישור BC′DBC'D.

שאלה 7 · מנסרה ישרה שבסיסה ריבוע: גובה מתוך ניצבות למישורשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', שבסיסה הוא ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 6.

הנקודה FF נמצאת על המישור ACD′ACD' כך ש: D′F→=13D′A→+13D′C→\vec{D'F}=\frac13\vec{D'A}+\frac13\vec{D'C}.

נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline u, DC→=v‾\overrightarrow{DC}=\underline v, DD′→=w‾\vec{DD'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.

הביעו את D′A→\vec{D'A}, D′C→\vec{D'C} ו-DF→\overrightarrow{DF} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

נתון: DFDF מאונך ל-D′AD'A.

מצאו את גובה המנסרה ∣w‾∣|\underline w|.

ג.

הראו כי DFDF מאונך למישור ACD′ACD', וחשבו את נפח המנסרה.

ד.

נתון: הנקודה DD היא ראשית הצירים, הקודקוד AA נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xx, הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy, והקודקוד D′D' נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zz.

מצאו את שיעורי הנקודה FF ואת המרחק של הקודקוד DD מהמישור ACD′ACD'.

שאלה 8 · וקטורים בקובייה: האלכסון BD' והמשולש ACB'שאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.

הוכיחו כי האלכסון BD′BD' מאונך למישור ACB′ACB'.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש ACB′ACB'.

(1)

הביעו את הווקטור BE→\overrightarrow{BE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הוכיחו כי הנקודות B, E ו-D′D' נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0), C(5,12,0)C(5,12,0), A(12,n,p)A(12,n,p), nn ו-pp הם פרמטרים. שיעור ה-zz של הנקודה B′B' הוא חיובי.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה A, והוכיחו כי ABCD נמצא במישור z=0z=0.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה B′B'.

ד.

ℓ\ell הוא ישר החיתוך בין המישור ACB′ACB' ובין המישור ABB′A′ABB'A'.

מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ell.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ell ואינו חותך את ציר ה-yy.

שאלה 9 · וקטורים בתיבה: עקב האנך לאלכסון ואנך שפוגע בפאהשאלה מלאה · קשה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שהבסיס שלה, ABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=8AB=8, AD=6AD=6, AA′=10AA'=10. הנקודה EE היא אמצע המקצוע DD′DD', והנקודה FF נמצאת על האלכסון BD′BD' כך ש-BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}, 0<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו את BD′→\overrightarrow{BD'} ואת FE→\overrightarrow{FE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-tt.

ב.

מצאו את tt שעבורו FEFE מאונך לאלכסון BD′BD'.

ג.

מצאו את המרחק של הנקודה EE מהאלכסון BD′BD'.

ד.

הנקודה CC היא ראשית הצירים. BB נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx, DD על החלק החיובי של ציר ה-yy, ו-C′C' על החלק החיובי של ציר ה-zz. מכאן והלאה tt הוא פרמטר כלשהו, 0<t<10<t<1.

(1)

הסבירו מדוע המישור EFBDEFBD אינו תלוי ב-tt, ומצאו את משוואתו.

(2)

מן הנקודה FF מעבירים ישר המאונך למישור EFBDEFBD. מצאו את כל ערכי tt שעבורם הישר הזה חותך את הפאה CDD′C′CDD'C' (כולל שפת הפאה).

שאלה 10 · וקטורים בקובייה במערכת צירים: אלכסון, מפגש תיכונים וישר חיתוךשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.
(1)

הביעו את הווקטורים CA′→\overrightarrow{CA'}, DB→\overrightarrow{DB} ו-DC′→\overrightarrow{DC'} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הוכיחו כי CA′CA' מאונך ל-DBDB ול-DC′DC', והסיקו כי האלכסון CA′CA' מאונך למישור BC′DBC'D.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'D. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: CE→=13(CB→+CC′→+CD→)\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right).

הראו כי CE→=13CA′→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}, והסיקו כי הנקודות C, E ו-A′A' נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0), A(4,0,0)A(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0). שיעור ה-zz של הנקודה C′C' הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C′C'.

ד.

ℓ\ell הוא ישר החיתוך בין המישור BC′DBC'D ובין המישור BCC′B′BCC'B'.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-C′C' נמצאות על ℓ\ell, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ell.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ell ואינו חותך את ציר ה-yy.

עוד 9 שאלות על תיבה וקובייה במערכת צירים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון אחר, הקבלה לבסיס ואנך למישור (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שהבסיס שלה, ABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה EE נמצאת על המקצוע BB′BB' כך ש-BE:EB′=1:3BE:EB'=1:3, הנקודה FF נמצאת על…

  2. תיבה במערכת צירים: פרמטר מזווית ומנפח, וקודקודים מהנורמלים (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D' היא 2x+2y−z−12=02x+2y-z-12=0, וכי B(1,0,2)B(1,0,2). הצגה פרמטרית של הישר AB היא…

  3. וקטורים בתיבה: מנקודה על אלכסון לאנך למישור (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שהבסיס שלה, ABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=12AB=12, AD=6AD=6, AA′=9AA'=9. הנקודה EE נמצאת על המקצוע…

  4. תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D' היא 2x−y+2z−33=02x-y+2z-33=0, וכי B(1,2,3)B(1,2,3).

  5. קובייה שאינה מקבילה לצירים: קודקודים, נקודת חיתוך ומישור (שאלת ביניים · קשה)

    בסרטוט שלפניכם קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. האלכסון CA′CA' מאונך למישור BC′DBC'D וחותך אותו בנקודה EE, ומתקיים CE:EA′=1:2CE:EA'=1:2.

  6. תיבה במערכת צירים: מקצועות, מישור פאה ונפח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D' היא x+2y+2z−22=0x+2y+2z-22=0, וכי A(−2,3,0)A(-2,3,0) ו-B(2,1,0)B(2,1,0).

  7. מנסרה משולשת ישרה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' שבסיסה ABCABC הוא משולש ישר-זווית (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ). נתון כי משוואת המישור A′B′C′A'B'C' היא…

  8. מישור אלכסוני בתיבה שהוצבה במערכת צירים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שהבסיס שלה, ABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=8AB=8, AD=6AD=6, AA′=10AA'=10. הנקודה EE היא אמצע המקצוע…

  9. מישור של פאה צדדית ונפח של תיבה במערכת צירים (שאלת ביניים · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D' היא x+2y+2z−22=0x+2y+2z-22=0, וכי A(−2,3,0)A(-2,3,0) ו-B(2,1,0)B(2,1,0). אורך המקצוע BB′BB' הוא…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (15)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.