מבחן לדוגמה: מנסרה ופירמידה במערכת צירים - כיתה י"ב 5 יח"ל

הביעו באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ את הווקטורים $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DB}$ ו-$\overrightarrow{ED}$.

הראו כי: $\overrightarrow{EF}=k\underline u+\left(\frac12-k\right)\underline v+\left(\frac12-2k\right)\underline w$.

נתון: $\overrightarrow{EF}$ מקביל למישור $ABC$.

הסבירו מדוע מקדם $\underline w$ בביטוי של $\overrightarrow{EF}$ חייב להיות 0, ומצאו את $k$.

נתון: $A(0,0,0)$, $B(4,2,0)$, $C(0,4,0)$. אורך המקצוע $DC$ הוא 6, ו-$D$ נמצא מעל המישור $ABC$ (שיעור ה-$z$ שלו חיובי).

מצאו את שיעורי הנקודה $D$ ואת נפח הפירמידה.

מצאו את שיעורי הנקודות $E$ ו-$F$, וקבעו מהו המצב ההדדי בין הישר $EF$ לבין הישר $AB$. נמקו.

הביעו באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$ את הווקטורים $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AN}$ ו-$\overrightarrow{EN}$.

חשבו את אורך הקטע EN.

ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש-$A(0,0,0)$, $B(0,6,0)$. הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$x$, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$z$.

מצאו את שיעורי הנקודות E ו-N.

הראו כי משוואת המישור ENB היא $2x+y-6=0$.

חשבו את המרחק של הקודקוד S ואת המרחק של הקודקוד C מהמישור ENB, וקבעו איזו מבין הפירמידות SENB ו-CENB גדולה יותר בנפחה, ופי כמה.

מצאו את $h$.

מצאו את הזווית בין המקצוע $SB$ למישור הבסיס.

מצאו את משוואת המישור $ACC'A'$.

נתונה נקודה $M(5,k,6)$, $k$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר $AC$ ובין הישר $AM$ הוא $45^\circ$.

מצאו את הערך של $k$.

נתון כי הנקודה $M$ נמצאת על המישור שמכיל את המקצוע $BB'$ ומקביל לפאה $ACC'A'$.

מצאו את נפח המנסרה.

נתון: $A(0,0,0)$, $C(0,n,0)$, $B(p,3,0)$, $n$ ו-$p$ הם פרמטרים חיוביים. $\overrightarrow{BD}=(-6,3,12)$, $\underline u\cdot\underline v=18$.

מצאו את שיעורי הנקודות $B$, $C$ ו-$D$.

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא 12. $A(0,0,0)$, $B(5,12,0)$. הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$x$, ושיעור ה-$z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הקודקודים $C$ ו-$S$.

הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש-$\overrightarrow{SF}=t\cdot\overrightarrow{SC}$, כאשר $0<t<1$. דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$, וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$.

הביעו באמצעות $t$ את שיעורי הנקודה $M$.

נתון כי נפח הפירמידה $MABC$ גדול פי 6 מנפח הפירמידה $SMFB$.

מצאו את הערך של $t$.