דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: נפחים של גופים - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על נפחים של גופים (גופים במרחב וטריגונומטריה במרחב), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
נפחים של גופים
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · נפחים של גופיםשאלה קצרה · קלה

נתונה פירמידה ישרה SABCDSABCD שבסיסה מלבן ABCDABCD. אלכסוני הבסיס נחתכים בנקודה OO בזווית של 60∘60^\circ, ואורך כל אחד מהם 1212 ס"מ. מקצוע צדדי של הפירמידה יוצר זווית של 45∘45^\circ עם מישור הבסיס.

חשבו את נפח הפירמידה.

שאלה 2 · פירמידה שבסיסה ריבוע במרחב: גובה, קודקוד וזוויתשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(1,0,0)A(1,0,0), B(2,2,2)B(2,2,2), C(0,1,4)C(0,1,4), D(−1,−1,2)D(-1,-1,2).

א.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

ב.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

ג.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: x‾=(0,1,4)+t(1,0,1)\underline x=(0,1,4)+t(1,0,1). נתון כי נפח הפירמידה הוא 12.

חשבו את גובה הפירמידה.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ה.

מצאו את הזווית בין המקצוע SC ובין בסיס הפירמידה.

שאלה 3 · נפחים של גופיםשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה משושה ישרה ומשוכללת אורך צלע הבסיס הוא 22 ס"מ, ושטח המעטפת גדול פי 22 משטח הבסיס.

חשבו את נפח הפירמידה.

שאלה 4 · נפח פירמידה בתוך מנסרה: מישור, מרחק ונפחשאלת ביניים · בינונית

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B' שבסיסה AOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ): O(0,0,0)O(0,0,0), A(8,0,0)A(8,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0), O′(0,0,8)O'(0,0,8). הנקודה KK היא אמצע המקצוע ABAB, והנקודה N(1.6,1.2,4.8)N(1.6,1.2,4.8) נמצאת בתוך המנסרה.

OABO'A'B'KN
א.

מצאו את משוואת המישור A′KB′A'KB'.

ב.

מצאו את המרחק בין הנקודה NN ובין המישור A′KB′A'KB'.

ג.

מצאו את נפח הפירמידה NA′KB′NA'KB'.

שאלה 5 · פירמידה על בסיס ריבוע במרחב: קודקוד מתוך הנפח והיטלושאלת ביניים · קשה

הנקודות A(−3,−3,−1)A(-3,-3,-1), B(1,1,1)B(1,1,1), C(−3,3,5)C(-3,3,5) הן שלושה קודקודים של הריבוע ABCD. אורך צלע הריבוע הוא 66.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד D ואת משוואת המישור ABCD.

ב.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר x‾=(−3,3,5)+t(1,−3,1)\underline x=(-3,3,5)+t(1,-3,1), ונפח הפירמידה הוא 72.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ג.

באחת משתי האפשרויות שמצאתם בסעיף ב, ההיטל של הקודקוד S על מישור הבסיס נמצא בתוך הריבוע ABCD. איזו? נמקו.

שאלה 6 · עקב הגובה בפירמידה שמקצועותיה מאונכים, כפונקציה של יחס המקצועותשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u} , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v} , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}. נתון: ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ, ∣u‾∣=∣v‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|, ∣w‾∣=m∣u‾∣|\underline{w}|=m|\underline{u}|, m>0m>0 הוא פרמטר. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}, ו-OH→\overrightarrow{OH} מאונך לבסיס ABC.

א.

הביעו את ss ואת kk באמצעות tt ו-mm.

ב.

הישר OH חותך את הבסיס ABC בנקודה M. הביעו את OM→\overrightarrow{OM} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} ו-mm.

ג.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הראו כי לכל mm הנקודה M נמצאת על התיכון CD, ומצאו את mm שבעבורו CM:MD=4:1CM:MD=4:1.

ד.

הציבו m=2m=\sqrt2. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים: O בראשית, והנקודות A, B, C על החלקים החיוביים של הצירים xx, yy, zz בהתאמה. נתון כי אורך הגובה OM הוא 2.

מצאו את ∣u‾∣|\underline{u}| ואת נפח הפירמידה OABC.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.