דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: נפחים של גופים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על נפחים של גופים לכיתה י"ב, 5 יחידות: פירמידה, מנסרה, חרוט וגליל. השאלות כוללות נפח פירמידה שבסיסה מלבן כשנתונים אלכסוני הבסיס והזווית ביניהם, פירמידה עם מקצוע מאונך לבסיס וזווית נתונה בין פאה לבסיס, גליל החסום בחרוט, פירמידה משושה משוכללת, וחישוב נפח מתוך קודקודים במערכת צירים. זה השיעור הגדול בפרק, עם שאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב ממנו כמה מבחנים או דפי עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

113 שאלותקלה: 57בינונית: 46קשה: 10

שאלה 1 · נפחים של גופיםשאלה קצרה · קלה

נתונה פירמידה ישרה SABCDSABCD שבסיסה מלבן ABCDABCD. אלכסוני הבסיס נחתכים בנקודה OO בזווית של 60∘60^\circ, ואורך כל אחד מהם 1212 ס"מ. מקצוע צדדי של הפירמידה יוצר זווית של 45∘45^\circ עם מישור הבסיס.

חשבו את נפח הפירמידה.

שאלה 2 · נפחים של גופיםשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה SABCDSABCD הבסיס הוא מלבן ABCDABCD, והמקצוע SASA מאונך למישור הבסיס ואורכו 66 ס"מ. הזווית שבין הפאה SCDSCD לבין מישור הבסיס היא 45∘45^\circ, והזווית שבין המקצוע SCSC לבין מישור הבסיס היא 30∘30^\circ.

ABCDS
א.

חשבו את נפח הפירמידה.

ב.

מצאו את הזווית שבין הפאה SBCSBC לבין מישור הבסיס.

שאלה 3 · נפחים של גופיםשאלה קצרה · קשה

בתוך חרוט ישר שרדיוס בסיסו 66 ס"מ וגובהו 99 ס"מ חסום גליל ישר: בסיסו התחתון מונח על בסיס החרוט, והיקף בסיסו העליון נמצא על מעטפת החרוט.

rhSABO

מצאו את רדיוס הגליל שנפחו הגדול ביותר, ומצאו את היחס בין נפח הגליל הזה לבין נפח החרוט.

שאלה 4 · נפחים של גופיםשאלה קצרה · קלה

נפח פירמידה מרובעת ישרה שבסיסה ריבוע שצלעו 66 ס"מ הוא 9696 סמ"ק.

מצאו את אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה ואת הזווית שבין המקצוע הצדדי לבין מישור הבסיס.

שאלה 5 · נפחים של גופיםשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה משושה ישרה ומשוכללת אורך צלע הבסיס הוא 22 ס"מ, ושטח המעטפת גדול פי 22 משטח הבסיס.

חשבו את נפח הפירמידה.

שאלה 6 · ריבוע משלושה קודקודים ופירמידה: איפה נופל היטל הקודקודשאלה מלאה · קשה

הנקודות A(−3,p,−1)A(-3,p,-1), B(1,1,1)B(1,1,1), C(−3,3,5)C(-3,3,5) הן שלושה קודקודים של הריבוע ABCD, pp הוא פרמטר.

א.

מצאו את pp.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד D ואת משוואת המישור ABCD.

ג.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר x‾=(−3,3,5)+t(1,−3,1)\underline x=(-3,3,5)+t(1,-3,1), ונפח הפירמידה הוא 72.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ד.

באחת משתי האפשרויות שמצאתם בסעיף ג, ההיטל של הקודקוד S על מישור הבסיס נמצא בתוך הריבוע ABCD. איזו? נמקו.

שאלה 7 · פירמידה שבסיסה ריבוע במרחב: גובה, קודקוד וזוויתשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(1,0,0)A(1,0,0), B(2,2,2)B(2,2,2), C(0,1,4)C(0,1,4), D(−1,−1,2)D(-1,-1,2).

א.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

ב.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

ג.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: x‾=(0,1,4)+t(1,0,1)\underline x=(0,1,4)+t(1,0,1). נתון כי נפח הפירמידה הוא 12.

חשבו את גובה הפירמידה.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ה.

מצאו את הזווית בין המקצוע SC ובין בסיס הפירמידה.

שאלה 8 · ריבוע במרחב ופירמידה שקודקודה על ישר נתוןשאלה מלאה · בינונית

נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: A(−6,p,3)A(-6,p,3), B(−2,−2,5)B(-2,-2,5), C(2,0,1)C(2,0,1), D(−2,4,−1)D(-2,4,-1), pp הוא פרמטר.

א.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

ב.

חשבו את ערך הפרמטר pp.

ג.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

ד.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: x‾=(0,−2,−1)+t(1,1,1)\underline x=(0,-2,-1)+t(1,1,1). נתון כי נפח הפירמידה הוא 60.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ה.

נתון מישור נוסף π\pi המאונך למקצוע SC.

מצאו את הזווית שבין המישור ABCD ובין המישור π\pi.

שאלה 9 · עקב הגובה בפירמידה שמקצועותיה מאונכים, כפונקציה של יחס המקצועותשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u} , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v} , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}. נתון: ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ, ∣u‾∣=∣v‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|, ∣w‾∣=m∣u‾∣|\underline{w}|=m|\underline{u}|, m>0m>0 הוא פרמטר. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}, ו-OH→\overrightarrow{OH} מאונך לבסיס ABC.

א.

הביעו את ss ואת kk באמצעות tt ו-mm.

ב.

הישר OH חותך את הבסיס ABC בנקודה M. הביעו את OM→\overrightarrow{OM} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} ו-mm.

ג.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הראו כי לכל mm הנקודה M נמצאת על התיכון CD, ומצאו את mm שבעבורו CM:MD=4:1CM:MD=4:1.

ד.

הציבו m=2m=\sqrt2. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים: O בראשית, והנקודות A, B, C על החלקים החיוביים של הצירים xx, yy, zz בהתאמה. נתון כי אורך הגובה OM הוא 2.

מצאו את ∣u‾∣|\underline{u}| ואת נפח הפירמידה OABC.

שאלה 10 · פירמידה בשיעורים: גובה, מישור הבסיס ונקודה לפי נפחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפירמידה OABC: O(0,0,0)O(0,0,0), A(6,0,0)A(6,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0), C(0,0,6)C(0,0,6). הנקודה M היא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס ABC.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה M.

ב.

הראו כי OM→\overrightarrow{OM} מאונך ל-AB→\overrightarrow{AB} ול-AC→\overrightarrow{AC}, והסבירו מדוע OM הוא גובה הפירמידה לבסיס ABC.

ג.

מצאו את משוואת המישור ABC.

ד.

הנקודה P נמצאת על הישר OM. מצאו את שיעורי P שבעבורם נפח הפירמידה PABC כפול מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

עוד 33 שאלות על נפחים של גופים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פירמידה שמקצועותיה מאונכים ושונים באורכם: עקב הגובה, נקודה לפי נפח, ישר ומישור (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u} , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v} , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}. נתון:…

  2. מנסרה שבסיסה מעוין עם זווית לא ידועה: מקדמי הניצב למישור כפונקציה של הזווית (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', שבסיסה הוא מעוין ABCDABCD שאורך צלעו 2. נתון: ∠ADC=α\angle ADC=\alpha (0∘<α<180∘0^\circ<\alpha<180^\circ),…

  3. מנסרה ישרה שבסיסה ריבוע: גובה מתוך ניצבות למישור (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', שבסיסה הוא ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 6. הנקודה FF נמצאת על המישור ACD′ACD' כך ש:…

  4. נפחים של גופים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפירמידה OABC: O(0,0,0)O(0,0,0), A(3,0,0)A(3,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0), C(0,0,6)C(0,0,6). משוואת המישור ABC היא 2x+y+z−6=02x+y+z-6=0. הישר ℓ\ell עובר ב-O ומאונך למישור…

  5. פירמידה: וקטור מקביל למישור עם שני פרמטרים (שאלה מלאה · קשה)

    בפירמידה ABCDABCD, המקצוע DCDC מאונך למישור ABCABC. הנקודה EE נמצאת על המקצוע ADAD כך ש-AE→=t⋅AD→\overrightarrow{AE}=t\cdot\overrightarrow{AD},…

  6. פירמידה: וקטור מקביל למישור, נפח וישרים מצטלבים (שאלה מלאה · קלה)

    בפירמידה ABCDABCD, המקצוע DCDC מאונך למישור ABCABC. הנקודה EE היא אמצע המקצוע ADAD. הנקודה FF מקיימת:…

  7. מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: וקטור מאונך למישור, גובה, נפח ושיעורי נקודה (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', שבסיסה הוא מעוין ABCDABCD. נקודה FF נמצאת על המישור ACD′ACD' כך ש:…

  8. ישרים עם פרמטר במרחב: טווח הזווית ונפח פירמידה (שאלה מלאה · קשה)

    נתונים הישרים ℓ1: x‾=t(1,−2,0)\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0) ו-ℓ2: x‾=(2,−4,0)+m(k,0,1)\ell_2:\ \underline{x}=(2,-4,0)+m(k,0,1), kk הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של…

  9. ישרים נחתכים במרחב: מישור, אנך ונפח פירמידה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונים הישרים ℓ1: x‾=t(2,1,0)\ell_1:\ \underline{x}=t(2,1,0) ו-ℓ2: x‾=(4,2,0)+m(0,1,1)\ell_2:\ \underline{x}=(4,2,0)+m(0,1,1). הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, והנקודה O…

  10. פירמידה: וקטור מקביל למישור, שיעורים, נפח וישרים מצטלבים (שאלה מלאה · בינונית)

    בפירמידה ABCDABCD, המקצוע DCDC מאונך למישור ABCABC. הנקודה EE נמצאת על המקצוע ADAD כך ש-AE→=34AD→\overrightarrow{AE}=\frac34\overrightarrow{AD}.…

  11. מנסרה משולשת: מציאת יחס ומציאת גובה מנפח (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B' שבסיסה AOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ). הנקודה KK היא אמצע המקצוע ABAB. הנקודה EE…

  12. וקטורים במנסרה משולשת: מהבעת וקטורים לנפח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B' שבסיסה AOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ). הנקודה KK היא אמצע המקצוע ABAB. הנקודה EE…

  13. שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שני ישרים ℓ1\ell_1 ו-ℓ2\ell_2. לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: ℓ1: x‾=t(1,−2,0)\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0),…

  14. תיבה במערכת צירים: פרמטר מזווית ומנפח, וקודקודים מהנורמלים (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D' היא 2x+2y−z−12=02x+2y-z-12=0, וכי B(1,0,2)B(1,0,2). הצגה פרמטרית של הישר AB היא…

  15. פירמידה במערכת צירים: ישר מקביל, חיתוך עם מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABCSABC. A(0,0,0)A(0,0,0), B(3,4,0)B(3,4,0), C(5,0,0)C(5,0,0). הנקודה EE היא אמצע המקצוע BCBC.

  16. נפחים של גופים (שאלה קצרה · בינונית)

    הנקודות A(6,0,0)A(6,0,0), B(0,3,0)B(0,3,0) ו-C(0,0,3)C(0,0,3) נמצאות במישור π: x+2y+2z=6\pi:\ x+2y+2z=6.

  17. הגליל בעל הנפח הגדול ביותר החסום בחרוט (שאלה קצרה · קשה)

    בתוך חרוט ישר שרדיוס בסיסו 66 ס"מ וגובהו 99 ס"מ חסום גליל ישר: בסיסו התחתון מונח על בסיס החרוט, והיקף בסיסו העליון נמצא על מעטפת החרוט.

  18. וקטורים בפירמידה: אורך וקטור, מישור ויחס נפחים (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ו-AS=6AS=6. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה…

  19. וקטורים במנסרה משולשת: יחס 5:2, מישור ונפח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B' שבסיסה AOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ). הנקודה KK היא אמצע המקצוע ABAB. הנקודה EE…

  20. פירמידה על בסיס ריבוע במרחב: קודקוד מתוך הנפח והיטלו (שאלת ביניים · קשה)

    הנקודות A(−3,−3,−1)A(-3,-3,-1), B(1,1,1)B(1,1,1), C(−3,3,5)C(-3,3,5) הן שלושה קודקודים של הריבוע ABCD. אורך צלע הריבוע הוא 66.

  21. תיבה במערכת צירים: מקצועות, מישור פאה ונפח (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D' היא x+2y+2z−22=0x+2y+2z-22=0, וכי A(−2,3,0)A(-2,3,0) ו-B(2,1,0)B(2,1,0).

  22. נפחים של גופים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונות הנקודות A(6,0,0)A(6,0,0), B(0,8,0)B(0,8,0), C(0,8,5)C(0,8,5) ו-P(5,6,2)P(5,6,2).

  23. פירמידה ישרה שבסיסה מלבן: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מלבן. OO היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו-SOSO הוא גובה הפירמידה. הנקודה EE נמצאת על…

  24. פירמידה משולשת: ניצבות התיכון, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABCSABC. הנקודה EE היא אמצע המקצוע BCBC. נסמן AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u},…

  25. פירמידה משולשת: נקודה משתנה על מקצוע ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABCSABC. הנקודה EE היא אמצע המקצוע BCBC. נסמן EC→=v‾\overrightarrow{EC}=\underline{v},…

  26. נפחים של גופים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפירמידה SABCSABC: A(0,0,0)A(0,0,0), B(8,0,0)B(8,0,0), C(0,6,0)C(0,6,0), S(3,3,9)S(3,3,9). הנקודה MM נמצאת על המקצוע SCSC כך…

  27. פירמידה משולשת: זווית ישרה בבסיס, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABCSABC. הנקודה EE היא אמצע המקצוע BCBC. נסמן EB→=u‾\overrightarrow{EB}=\underline{u},…

  28. וקטורים בפירמידה: פרמטר על מקצוע, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת…

  29. וקטורים בתיבה: פרמטר על אלכסון, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. אורך המקצוע AA′AA' גדול פי 2 מאורך צלע הריבוע. הנקודה EE נמצאת על המקצוע BB′BB'…

  30. תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D' היא 2x−y+2z−33=02x-y+2z-33=0, וכי B(1,2,3)B(1,2,3).

  31. מנסרה משולשת ישרה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' שבסיסה ABCABC הוא משולש ישר-זווית (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ). נתון כי משוואת המישור A′B′C′A'B'C' היא…

  32. יחס נפחים של שתי פירמידות באותו גובה (שאלה קצרה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABCSABC: A(0,0,0)A(0,0,0), B(24,10,0)B(24,10,0), C(0,26,0)C(0,26,0), S(12,18,30)S(12,18,30). הנקודה EE היא אמצע המקצוע BCBC, והנקודה FF היא…

  33. נפח פירמידה בתוך מנסרה: מישור, מרחק ונפח (שאלת ביניים · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B' שבסיסה AOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ): O(0,0,0)O(0,0,0), A(8,0,0)A(8,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0),…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (61)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ועוד 1 שאלות במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.