מבחן לדוגמה: מערכת צירים במרחב והצגה אלגברית של וקטור - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתונים שלושה קודקודים של המקבילית $ABCD$: $A(1,2,-1)$, $B(4,0,3)$ ו-$C(2,-3,5)$.

נתונות הנקודות $A(a,1,2)$, $B(3,b,5)$, $C(1,2,a)$ ו-$D(2,2b,4)$, כאשר $a$ ו-$b$ פרמטרים.

תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $A$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $B$, $D$, $A'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-$x$, של ציר ה-$y$ ושל ציר ה-$z$ בהתאמה. נתון: $AB=4$, המקצוע $AD$ ארוך פי 2 מהמקצוע $AA'$, ונפח התיבה הוא 72.

מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ ממוקמת במערכת צירים. בסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ($\angle ACB=90^\circ$) המונח במישור $xy$: הקודקוד $C$ בראשית הצירים, הקודקוד $A$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$, והקודקוד $B$ על החלק השלילי של ציר ה-$y$. נתון: $CA=8$, $CB=6$, גובה המנסרה $5$, והבסיס $A'B'C'$ נמצא מעל מישור $xy$ ($A'$ מעל $A$, $B'$ מעל $B$, $C'$ מעל $C$).

נתונה תיבה שמקצועותיה מקבילים לצירים. הנקודות $A(a,2,-1)$ ו-$G(3,b,5)$ הן קצות אלכסון של התיבה (אלכסון המחבר שני קודקודים שאינם על אותה פאה), כאשר $a\neq3$ ו-$b\neq2$ הם פרמטרים.

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ($\angle AOB=90^\circ$). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$. הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $O'B$ כך ש-$\vec{O'E}=s\cdot\vec{O'B}$, $0<s<1$. הנקודה $N$ נמצאת על הקטע $AE$ כך ש-$\overrightarrow{AN}=\frac45\cdot\overrightarrow{AE}$. נסמן: $\overrightarrow{OA}=\underline u$, $\overrightarrow{OB}=\underline v$, $\vec{OO'}=\underline w$.