שאלות פתוחות: מערכת צירים במרחב והצגה אלגברית של וקטור - כיתה י"ב 5 יח"ל

לכל ערך ממשי של $k$ מגדירים את הנקודה $P(k-2,\ 3-k,\ k^2-1)$.

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ($\angle AOB=90^\circ$). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$. הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $O'B$ כך ש-$\vec{O'E}=\frac14\cdot\vec{O'B}$. הנקודה $N$ נמצאת על הקטע $AE$ כך ש-$\overrightarrow{AN}=\frac45\cdot\overrightarrow{AE}$. נסמן: $\overrightarrow{OA}=\underline u$, $\overrightarrow{OB}=\underline v$, $\vec{OO'}=\underline w$.

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ($\angle AOB=90^\circ$). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$. הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $O'B$ כך ש-$\vec{O'E}=s\cdot\vec{O'B}$, $0<s<1$. הנקודה $N$ נמצאת על הקטע $AE$ כך ש-$\overrightarrow{AN}=\frac45\cdot\overrightarrow{AE}$. נסמן: $\overrightarrow{OA}=\underline u$, $\overrightarrow{OB}=\underline v$, $\vec{OO'}=\underline w$.

נתונים שלושה קודקודים של המקבילית $ABCD$: $A(1,2,-1)$, $B(4,0,3)$ ו-$C(2,-3,5)$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו-$SO$ הוא גובה הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש-$\overrightarrow{SE}=\frac13\cdot\overrightarrow{SC}$. הנקודה $N$ היא אמצע הקטע $BE$. הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש-$\overrightarrow{BK}=\frac14\cdot\overrightarrow{BC}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\overrightarrow{OS}=\underline w$.

לכל מספר ממשי $k$ מגדירים את הנקודה $P(k-1,\ k^2-4,\ k^2-3k+2)$.

נתונות הנקודות $A(a,1,2)$, $B(3,b,5)$, $C(1,2,a)$ ו-$D(2,2b,4)$, כאשר $a$ ו-$b$ פרמטרים.

תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $A$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $B$, $D$, $A'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה-$x$, של ציר ה-$y$ ושל ציר ה-$z$ בהתאמה. נתון: $AB=4$, המקצוע $AD$ ארוך פי 2 מהמקצוע $AA'$, ונפח התיבה הוא 72.

נתונה תיבה שמקצועותיה מקבילים לצירים. הנקודות $A(a,2,-1)$ ו-$G(3,b,5)$ הן קצות אלכסון של התיבה (אלכסון המחבר שני קודקודים שאינם על אותה פאה), כאשר $a\neq3$ ו-$b\neq2$ הם פרמטרים.

במרובע $ABCD$ נתונים שלושה קודקודים: $A(2,-1)$, $B(5,3)$ ו-$C(8,1)$. ידוע כי $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.