מבחן לדוגמה: מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית: זוויות וניצבות - כיתה י"ב 5 יח"ל

הביעו באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ את הווקטורים $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DB}$ ו-$\overrightarrow{ED}$.

הראו כי: $\overrightarrow{EF}=k\underline u+\left(\frac12-k\right)\underline v+\left(\frac12-2k\right)\underline w$.

נתון: $\overrightarrow{EF}$ מקביל למישור $ABC$.

הסבירו מדוע מקדם $\underline w$ בביטוי של $\overrightarrow{EF}$ חייב להיות 0, ומצאו את $k$.

נתון: $A(0,0,0)$, $B(4,2,0)$, $C(0,4,0)$. אורך המקצוע $DC$ הוא 6, ו-$D$ נמצא מעל המישור $ABC$ (שיעור ה-$z$ שלו חיובי).

מצאו את שיעורי הנקודה $D$ ואת נפח הפירמידה.

מצאו את שיעורי הנקודות $E$ ו-$F$, וקבעו מהו המצב ההדדי בין הישר $EF$ לבין הישר $AB$. נמקו.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש $BC'D$. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: $\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)$.

הראו כי $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}$, והסיקו כי הנקודות C, E ו-$A'$ נמצאות על ישר אחד.

נתון: $D(0,0,0)$, $A(4,0,0)$, $C(0,4,0)$. שיעור ה-$z$ של הנקודה $C'$ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-$C'$.

$\ell$ הוא ישר החיתוך בין המישור $BC'D$ ובין המישור $BCC'B'$.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-$C'$ נמצאות על $\ell$, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר $\ell$.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר $\ell$ ואינו חותך את ציר ה-$y$.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $k$.

חשבו את שטח המשולש $ABC$ עבור כל אחד מהערכים של $k$ שמצאתם.

מצאו את שיעורי הקודקודים $D$ ו-$C$.

קבעו אם המלבן $ABCD$ הוא ריבוע. נמקו.

האם קיים וקטור במרחב היוצר זווית של $45^\circ$ עם כל אחד משלושת הצירים? אם כן, מצאו וקטור כזה; אם לא, הוכיחו שאין וקטור כזה.

מצאו את הזווית שיוצר הווקטור $(1,1,1)$ עם ציר ה-$x$.

הראו כי הבסיס $ABCD$ הוא מלבן.

מצאו את $p$ ואת $q$ שעבורם המנסרה היא תיבה.

חשבו את נפח התיבה.