דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית (הצגה אלגברית של וקטורים), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · פירמידה במערכת צירים: ישר מקביל, חיתוך עם מישור ויחס נפחיםשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABCSABC. A(0,0,0)A(0,0,0), B(3,4,0)B(3,4,0), C(5,0,0)C(5,0,0). הנקודה EE היא אמצע המקצוע BCBC.

CBEAS
א.

מצאו את שיעורי הנקודה EE, והראו כי AE→\overrightarrow{AE} מאונך ל-BC→\overrightarrow{BC}.

ב.

נתון: הקטע SESE הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא 6. שיעור ה-zz של הקודקוד SS הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הקודקוד SS.

ג.

הנקודה FF היא אמצע המקצוע SCSC. דרך הנקודה FF מעבירים ישר המקביל לישר ACAC, וחותך את המישור ABSABS בנקודה MM.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה FF והצגה פרמטרית של הישר FMFM.

(2)

הראו כי משוואת המישור ABSABS היא 12x−9y−5z=012x-9y-5z=0.

(3)

מצאו את שיעורי הנקודה MM.

ד.

הסבירו מדוע לפירמידות MABCMABC ו-FAECFAEC יש אותו גובה, ומצאו פי כמה נפח הפירמידה MABCMABC גדול מנפח הפירמידה FAECFAEC.

שאלה 2 · וקטורים במנסרה משולשת: מהבעת וקטורים לנפחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B' שבסיסה AOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ). הנקודה KK היא אמצע המקצוע ABAB. הנקודה EE היא אמצע הקטע O′BO'B. הנקודה NN נמצאת על הקטע AEAE כך ש-AN→=23⋅AE→\overrightarrow{AN}=\frac23\cdot\overrightarrow{AE}. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline u, OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline v, OO′→=w‾\vec{OO'}=\underline w.

OABO'A'B'KEN
א.
(1)

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w את OE→\overrightarrow{OE} ואת AE→\overrightarrow{AE}.

(2)

הראו כי O′N→=13u‾+13v‾−23w‾\vec{O'N}=\frac13\underline u+\frac13\underline v-\frac23\underline w.

(3)

הוכיחו כי הנקודות KK, NN, O′O' נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין O′KO'K ובין O′NO'N.

ב.

נתון: O(0,0,0)O(0,0,0), A(6,0,0)A(6,0,0), B(0,3,0)B(0,3,0), O′(0,0,3)O'(0,0,3).

מצאו את שיעורי הנקודות EE ו-NN.

ג.

הראו כי משוואת המישור A′KB′A'KB' היא x+2y−6=0x+2y-6=0.

ד.
(1)

מצאו את המרחק בין הנקודה NN ובין המישור A′KB′A'KB'.

(2)

מצאו את נפח הפירמידה NA′KB′NA'KB'. (הדרכה: מצאו קודם את אמצע הקטע A′B′A'B'.)

שאלה 3 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(1,−2,5)A(1,-2,5) ו-B(7,4,−1)B(7,4,-1).

מצאו את שיעורי כל הנקודות PP הנמצאות על הישר ABAB ומקיימות APPB=3\frac{AP}{PB}=3.

שאלה 4 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

K(2,1,3)K(2,1,3), L(4,−1,5)L(4,-1,5) ו-M(0,4,1)M(0,4,1) הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC ו-CACA (בהתאמה) של המשולש ABCABC.

מצאו את שיעורי הקודקודים AA, BB ו-CC.

שאלה 5 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קשה

ABCDABCD הוא טרפז שבו AB∥DCAB\parallel DC ו-AB=2⋅DCAB=2\cdot DC. נתון: A(1,2,−1)A(1,2,-1), B(7,−4,5)B(7,-4,5) ו-C(1,2,5)C(1,2,5).

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד DD.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז.

שאלה 6 · מפגש התיכונים, גובה הפירמידה ונקודה על המשך הגובה לפי יחס נפחיםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפירמידה OABC: O(0,0,0)O(0,0,0), A(6,0,0)A(6,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0), C(0,0,6)C(0,0,6). הנקודה M היא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס ABC.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה M.

ב.

הראו כי OM→\overrightarrow{OM} מאונך ל-AB→\overrightarrow{AB} ול-AC→\overrightarrow{AC}, והסבירו מדוע OM הוא גובה הפירמידה לבסיס ABC.

ג.

הנקודה P נמצאת על הישר OM. מצאו את שיעורי P שבעבורם נפח הפירמידה PABC כפול מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.