שאלות פתוחות: חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מציאת נקודת חלוקה לפי יחס, מציאת קצה של קטע כשנתונים נקודת החלוקה והיחס, טרפז עם יחס בין בסיסים, משולש שנתונים בו רק אמצעי הצלעות, ונקודה על ישר שנמצאת במישור צירים. השאלות ברמה קלה ובינונית, ומעט ברמה קשה. מתאים לדף עבודה או לבוחן קצר, ולכל שאלה פתרון מלא שאפשר לייצא לוורד.

48 שאלותקלה: 21בינונית: 24קשה: 3

שאלה 1 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(t,2,−1)A(t,2,-1)A(t,2,−1) ו-B(4,t+1,5)B(4,t+1,5)B(4,t+1,5), כאשר ttt פרמטר. הנקודה PPP מחלקת את הקטע ABABAB ביחס APPB=12\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}PBAP​=21​. ידוע כי שיעור ה-yyy של הנקודה PPP הוא 333.

מצאו את ttt ואת שיעורי הנקודה PPP.

שאלה 2 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(1,−2,5)A(1,-2,5)A(1,−2,5) ו-B(7,4,−1)B(7,4,-1)B(7,4,−1).

מצאו את שיעורי כל הנקודות PPP הנמצאות על הישר ABABAB ומקיימות APPB=3\frac{AP}{PB}=3PBAP​=3.

שאלה 3 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קשה

ABCDABCDABCD הוא טרפז שבו AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC ו-AB=2⋅DCAB=2\cdot DCAB=2⋅DC. נתון: A(1,2,−1)A(1,2,-1)A(1,2,−1), B(7,−4,5)B(7,-4,5)B(7,−4,5) ו-C(1,2,5)C(1,2,5)C(1,2,5).

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז.

שאלה 4 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

הנקודה P(0,1,3)P(0,1,3)P(0,1,3) נמצאת על הקטע ABABAB ומחלקת אותו ביחס APPB=23\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}PBAP​=32​. נתון: A(2,−1,5)A(2,-1,5)A(2,−1,5).

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

שאלה 5 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

K(2,1,3)K(2,1,3)K(2,1,3), L(4,−1,5)L(4,-1,5)L(4,−1,5) ו-M(0,4,1)M(0,4,1)M(0,4,1) הן אמצעי הצלעות ABABAB, BCBCBC ו-CACACA (בהתאמה) של המשולש ABCABCABC.

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA, BBB ו-CCC.

שאלה 6 · שיעורי קודקוד הפירמידה ונקודת אמצע מתוך נקודה המחלקת מקצועשאלה קצרה · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ABCDABCDABCD הוא מלבן. OOO היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו-SOSOSO הוא גובה הפירמידה. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע SCSCSC כך ש-SE→=13⋅SC→\overrightarrow{SE}=\frac13\cdot\overrightarrow{SC}SE=31​⋅SC. הנקודה NNN היא אמצע הקטע BEBEBE.
ABCDSOEN

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(12,0,0)B(12,0,0)B(12,0,0), E(8,4,6)E(8,4,6)E(8,4,6). הקודקוד DDD נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy, ושיעור ה-zzz של הקודקוד SSS חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות SSS ו-NNN.

שאלה 7 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(1,2,3)A(1,2,3)A(1,2,3) ו-B(3,3,1)B(3,3,1)B(3,3,1). הנקודה CCC נמצאת על הישר ABABAB ובמישור xyxyxy.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC.

ב.

באיזה יחס מחלקת הנקודה BBB את הקטע ACACAC?

שאלה 8 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(1,1)A(1,1)A(1,1) ו-B(7,4)B(7,4)B(7,4).

מצאו את כל הנקודות PPP על הישר ABABAB המקיימות PA=2PBPA=2PBPA=2PB.

שאלה 9 · מפגש התיכונים, גובה הפירמידה ונקודה על המשך הגובה לפי יחס נפחיםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפירמידה OABC: O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0), A(6,0,0)A(6,0,0)A(6,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0)B(0,6,0), C(0,0,6)C(0,0,6)C(0,0,6). הנקודה M היא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס ABC.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה M.

ב.

הראו כי OM→\overrightarrow{OM}OM מאונך ל-AB→\overrightarrow{AB}AB ול-AC→\overrightarrow{AC}AC, והסבירו מדוע OM הוא גובה הפירמידה לבסיס ABC.

ג.

הנקודה P נמצאת על הישר OM. מצאו את שיעורי P שבעבורם נפח הפירמידה PABC כפול מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

שאלה 10 · חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגבריתשאלה קצרה · קלה

נתונות הנקודות A(1,2,3)A(1,2,3)A(1,2,3) ו-B(4,−4,9)B(4,-4,9)B(4,−4,9). המישור y=0y=0y=0 חותך את הקטע ABABAB בנקודה PPP.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP ואת היחס AP:PBAP:PBAP:PB.

עוד 16 שאלות על חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון אחר, הקבלה לבסיס ואנך למישור (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BB'$ כך ש- $BE:EB'=1:3$ , הנקודה $F$ נמצאת על…
חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הנקודות $A(2,-1,4)$ ו- $B(8,5,-2)$ . הנקודה $P$ נמצאת על הישר $AB$ , מחוץ לקטע $AB$ ומעבר לנקודה $B$ , כך ש- $PA:PB=3:1$ .
חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן. הקודקוד $D$ הוא ראשית הצירים, $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , $C$ על החלק…
וקטורים בתיבה: מנקודה על אלכסון לאנך למישור (שאלה מלאה · קלה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: $AB=12$ , $AD=6$ , $AA'=9$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים במנסרה משולשת: יחס 5:2, מישור ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
וקטורים במנסרה משולשת: מהבעת וקטורים לנפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
חלוקת קטע ביחס נתון בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $OABCO'A'B'C'$ . הקודקוד $O$ בראשית הצירים, הקודקוד $A$ על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , הקודקוד $C$ על החלק החיובי של ציר ה- $y$ ,…
פירמידה במערכת צירים: ישר מקביל, חיתוך עם מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . $A(0,0,0)$ , $B(3,4,0)$ , $C(5,0,0)$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ .
פירמידה ישרה שבסיסה מלבן: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו- $SO$ הוא גובה הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים בפירמידה: אורך וקטור, מישור ויחס נפחים (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ו- $AS=6$ . הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה…
פירמידה משולשת: ניצבות התיכון, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה משולשת: נקודה משתנה על מקצוע ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ ,…
פירמידה משולשת: זווית ישרה בבסיס, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים בפירמידה: פרמטר על מקצוע, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת…
וקטורים בתיבה: פרמטר על אלכסון, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. אורך המקצוע $AA'$ גדול פי 2 מאורך צלע הריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BB'$ …
נקודות חלוקה ואמצע בתיבה, קודקוד רביעי של מקבילית ונקודות על ישר אחד (שאלת ביניים · בינונית)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה- $x$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון, הקבלה לבסיס ואנך למישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DD'$ כך ש- $DE:ED'=3:2$ , הנקודה $F$ נמצאת על האלכסון $BD'$ …
וקטורים במנסרה משולשת: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח פירמידה · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $O'B$ …
פירמידה משולשת: ניצבות, קודקודים, ישר מקביל ויחס נפחים · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AE}=\underline{u}$ . נתון:…
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע לפי פרמטר, משוואת מישור והשוואת נפחים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (18)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים…
וקטורים בפירמידה גבוהה: ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים…
וקטורים בפירמידה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 3. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=3$ .…
שוויון, חיבור וכפל בסקלר בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,0,2)$ ו- $B(4,3,-1)$ .
שוויון, חיבור וכפל בסקלר בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(1,-2,4)$ ו- $B(5,4,2)$ .
שוויון, חיבור וכפל בסקלר בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · קלה)
בטרפז $ABCD$ שבשרטוט $AB\parallel DC$ ו- $AB=2\cdot DC$ . נתון: $A(2,-1,3)$ , $B(8,5,-3)$ ו- $D(2,2,0)$ . האלכסונים…
שוויון, חיבור וכפל בסקלר בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(a,1,4)$ ו- $B(5,7,-2)$ . אחת משתי הנקודות המחלקות את הקטע $AB$ לשלושה חלקים שווים היא…
מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(-2,4,7)$ , $B(0,5,4)$ , $C(1,3,1)$ , $D(-1,2,4)$ , $D'(-10,5,-1)$ .
מנסרה בהצגה אלגברית: מעוין, מנסרה ישרה ונפחים (שאלה מלאה · קלה)
במנסרה $ABCDA'B'C'D'$ נתונים הקודקודים: $A(1,-1,3)$ , $B(3,1,4)$ , $C(5,2,2)$ , $D(3,0,1)$ , $D'(-2,6,-1)$ .
מנסרה ישרה: מציאת קודקוד מתוך נפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבה: $A(1,0,1)$ , $B(2,2,3)$ , $C(4,3,5)$ , $D(3,1,3)$ .
תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על…
וקטורים קולינאריים בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · קלה)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על…
וקטורים בפירמידה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים בפירמידה משולשת: יחס לא ידוע על המקצועות (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ ,…
זיהוי הגובה וחישובו בגוף שאינו ישר (שאלה קצרה · קלה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. נתונים הקודקודים $A(0,1,2)$ , $B(2,2,4)$ , $D(1,-1,2)$ ,…
תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית, שטח ונקודות על ישר (שאלה מלאה · בינונית)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על…
תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על…
תיבה במערכת צירים: מקבילית עם נקודה משתנה (שאלה מלאה · קלה)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על…