מבחן לדוגמה: צירוף לינארי של וקטורים - כיתה י"ב 5 יח"ל

הביעו באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו-$\underline{w}$ את הווקטור $\overrightarrow{SC}$.

נתון: $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $D(0,6,0)$, $S(0,0,6)$.

מצאו את שיעורי הקודקוד C ואת שיעורי הנקודה M, אמצע האלכסון BD.

דרך האלכסון AC מעבירים מישור $\pi$ המקביל למקצוע SD.

מצאו את משוואת המישור $\pi$.

המישור $\pi$ חותך את המקצוע SB בנקודה K. מצאו את שיעורי K.

הראו כי הישר KM מקביל לישר SD.

הביעו באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ את הווקטורים $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DB}$ ו-$\overrightarrow{ED}$.

הראו כי: $\overrightarrow{EF}=k\underline u+\left(\frac12-k\right)\underline v+\left(\frac12-2k\right)\underline w$.

נתון: $\overrightarrow{EF}$ מקביל למישור $ABC$.

הסבירו מדוע מקדם $\underline w$ בביטוי של $\overrightarrow{EF}$ חייב להיות 0, ומצאו את $k$.

נתון: $A(0,0,0)$, $B(4,2,0)$, $C(0,4,0)$. אורך המקצוע $DC$ הוא 6, ו-$D$ נמצא מעל המישור $ABC$ (שיעור ה-$z$ שלו חיובי).

מצאו את שיעורי הנקודה $D$ ואת נפח הפירמידה.

מצאו את שיעורי הנקודות $E$ ו-$F$, וקבעו מהו המצב ההדדי בין הישר $EF$ לבין הישר $AB$. נמקו.

הביעו באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ו-$k$ את הווקטור $\overrightarrow{EN}$.

הביעו את אלכסון התיבה $\vec{AC'}$ כצירוף לינארי של שלושת אלכסוני הפאות היוצאים מ-$A$: $\vec{AB'}$, $\vec{AD'}$ ו-$\overrightarrow{AC}$.

הביעו את $\underline p$, $\underline q$ ו-$\underline r$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$.

הביעו את אלכסון התיבה $\overrightarrow{AC'}$ באמצעות $\underline p$, $\underline q$ ו-$\underline r$.

הביעו את $\overrightarrow{AA'}$ ואת $\overrightarrow{AB}$ באמצעות $\underline p$, $\underline q$ ו-$\underline r$.

הסבירו מדוע ההצגה קיימת ויחידה, והביעו את $\alpha$ ואת $\beta$ באמצעות $m$.

מצאו את כל ערכי $m$ שעבורם $\alpha=\beta$, וכתבו עבורם את $\underline{w}$ באמצעות $\underline{a}$ ו-$\underline{b}$.