דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: צירוף לינארי של וקטורים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על צירוף לינארי של וקטורים לכיתה י"ב, 5 יחידות. התלמידים מביעים וקטורים כצירוף של שני וקטורים לא מקבילים או של שלושה וקטורי בסיס בתיבה ובפירמידה, משווים מקדמים כדי למצוא סקלרים לא ידועים, ועובדים עם משושה משוכלל ועם נקודה שמוגדרת בעזרת פרמטר. זה אחד השיעורים העשירים במאגר, ורוב השאלות בו ברמה קלה, לצד שאלות בינוניות וקשות. אפשר להרכיב ממנו מבחן, בוחן או דף עבודה מדורג, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

111 שאלותקלה: 71בינונית: 31קשה: 9

שאלה 1 · יחידות ההצגה במישור: שני וקטורים בלתי תלוייםשאלה קצרה · קלה

u→\vec{u} ו-v→\vec{v} הם וקטורים לא מקבילים. מגדירים a→=2u→−v→\vec{a}=2\vec{u}-\vec{v} ו-b→=u→+3v→\vec{b}=\vec{u}+3\vec{v}.

הביעו את הווקטור w→=5u→+v→\vec{w}=5\vec{u}+\vec{v} באמצעות a→\vec{a} ו-b→\vec{b}.

שאלה 2 · צירוף לינארי של וקטוריםשאלה קצרה · בינונית

ABCDEFABCDEF הוא משושה משוכלל (ראו שרטוט). נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u} ו-AF→=v→\overrightarrow{AF}=\vec{v}. הנקודה KK היא אמצע הצלע CDCD.

uvABCDEFK

הביעו באמצעות u→\vec{u} ו-v→\vec{v} את הווקטורים AK→\overrightarrow{AK} ו-BK→\overrightarrow{BK}.

שאלה 3 · צירוף לינארי של וקטוריםשאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABC נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u} ו-AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v}. לכל tt ממשי מגדירים נקודה PP על ידי AP→=tu→+t2v→\overrightarrow{AP}=t\vec{u}+t^2\vec{v}.

מצאו את כל ערכי tt שעבורם הנקודה PP נמצאת בתוך המשולש ABCABC (לא על צלעותיו).

שאלה 4 · יחידות ההצגה במישור: שני וקטורים בלתי תלוייםשאלה קצרה · קלה

u→\vec{u} ו-v→\vec{v} הם וקטורים לא מקבילים, ו-kk, mm סקלרים ממשיים. נתון השוויון: 2(u→−3v→)+3(ku→+mv→)=8u→+3v→2(\vec{u}-3\vec{v})+3(k\vec{u}+m\vec{v})=8\vec{u}+3\vec{v}.

מצאו את kk ואת mm.

שאלה 5 · צירוף לינארי של וקטוריםשאלה קצרה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו שרטוט) שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה.

ABCDA'B'C'D'

הביעו את אלכסון התיבה AC′→\vec{AC'} כצירוף לינארי של שלושת אלכסוני הפאות היוצאים מ-AA: AB′→\vec{AB'}, AD′→\vec{AD'} ו-AC→\overrightarrow{AC}.

שאלה 6 · יחידות ההצגה במישור: שני וקטורים בלתי תלוייםשאלת ביניים · קשה

הווקטורים u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} בלתי תלויים לינארית במישור. נתון: a‾=u‾+v‾\underline{a}=\underline{u}+\underline{v}, b‾=u‾+2v‾\underline{b}=\underline{u}+2\underline{v}. לכל mm ממשי מגדירים w‾=(m2+2)u‾+(m+1)2v‾\underline{w}=(m^2+2)\underline{u}+(m+1)^2\underline{v}, ומציגים אותו בצורה w‾=αa‾+βb‾\underline{w}=\alpha\underline{a}+\beta\underline{b}.

א.

הסבירו מדוע ההצגה קיימת ויחידה, והביעו את α\alpha ואת β\beta באמצעות mm.

ב.

מצאו את כל ערכי mm שעבורם α=β\alpha=\beta, וכתבו עבורם את w‾\underline{w} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}.

שאלה 7 · צירוף לינארי של וקטוריםשאלה קצרה · קלה

נתונה פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית (ראו שרטוט). נסמן: SA→=a→\overrightarrow{SA}=\vec{a}, SB→=b→\overrightarrow{SB}=\vec{b}, SC→=c→\overrightarrow{SC}=\vec{c}.

abcABCDS
א.

הביעו את הווקטור SD→\overrightarrow{SD} באמצעות a→\vec{a}, b→\vec{b} ו-c→\vec{c}.

ב.

הנקודה OO היא נקודת מפגש אלכסוני הבסיס. הביעו את SO→\overrightarrow{SO} באמצעות a→\vec{a} ו-c→\vec{c} בלבד.

שאלה 8 · פירמידה שמקצועותיה מאונכים ושונים באורכם: עקב הגובה, נקודה לפי נפח, ישר ומישורשאלה מלאה · בינונית

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u} , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v} , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}. נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=2∣w‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|=2|\underline{w}|, ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}. tt, ss ו-kk הם פרמטרים. נתון כי OH→\overrightarrow{OH} מאונך לבסיס ABC של הפירמידה.

א.

הוכיחו כי: s=ts=t ו-k=4tk=4t.

ב.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הנקודה M נמצאת בבסיס ABC של הפירמידה, על התיכון CD, כך ש-CM:MD=1:2CM:MD=1:2.

הוכיחו כי: OM→=16u‾+16v‾+23w‾\overrightarrow{OM}=\frac16\underline{u}+\frac16\underline{v}+\frac23\underline{w}, והסבירו מדוע OM הוא גובה לבסיס ABC של הפירמידה.

ג.

הנקודה P נמצאת על הישר ℓ\ell שעליו מונח הגובה לבסיס ABC.

הביעו באמצעות u‾\underline{u} , v‾\underline{v} , w‾\underline{w}, את הווקטור OP→\overrightarrow{OP} שבעבורו נפח הפירמידה PABC גדול פי 3 מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

ד.

ממקמים את הפירמידה OABC במערכת צירים. הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx, הנקודה B על החלק החיובי של ציר ה-yy, והנקודה C על החלק החיובי של ציר ה-zz. נתון: ∣w‾∣=a|\underline{w}|=a.

מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ\ell שעליו נמצא הקטע OP.

ה.

הביעו באמצעות aa את משוואת המישור ABC.

ו.

נתון כי נפח הפירמידה OABC הוא 1818. חשבו את aa.

שאלה 9 · מנסרה שבסיסה מעוין עם זווית לא ידועה: מקדמי הניצב למישור כפונקציה של הזוויתשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', שבסיסה הוא מעוין ABCDABCD שאורך צלעו 2. נתון: ∠ADC=α\angle ADC=\alpha (0∘<α<180∘0^\circ<\alpha<180^\circ), וגובה המנסרה DD′=6DD'=\sqrt6.

הנקודה FF נמצאת על המישור ACD′ACD' כך ש: D′F→=tD′A→+sD′C→\vec{D'F}=t\vec{D'A}+s\vec{D'C}, ו-DFDF מאונך למישור ACD′ACD'.

נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline u, DC→=v‾\overrightarrow{DC}=\underline v, DD′→=w‾\vec{DD'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.

הביעו את tt ואת ss באמצעות α\alpha.

ב.

מצאו את α\alpha שבעבורה FF היא נקודת מפגש התיכונים של המשולש ACD′ACD'.

ג.

עבור α\alpha שמצאתם בסעיף ב, חשבו את נפח המנסרה ואת המרחק של הקודקוד DD מהמישור ACD′ACD'.

ד.

מצאו את כל הערכים ש-tt יכול לקבל כאשר α\alpha משתנה.

שאלה 10 · יחידות ההצגה במישור: שני וקטורים בלתי תלוייםשאלה קצרה · קלה

הווקטורים u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} בלתי תלויים לינארית במישור. נתון כי (2k−1)u‾+(3−m)v‾=(k+4)u‾+(2m−6)v‾(2k-1)\underline{u}+(3-m)\underline{v}=(k+4)\underline{u}+(2m-6)\underline{v}.

מצאו את kk ואת mm, ונמקו מדוע מותר להשוות מקדמים.

עוד 18 שאלות על צירוף לינארי של וקטורים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: וקטור מאונך למישור, גובה, נפח ושיעורי נקודה (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', שבסיסה הוא מעוין ABCDABCD. נקודה FF נמצאת על המישור ACD′ACD' כך ש:…

  2. פירמידה: וקטור מקביל למישור עם שני פרמטרים (שאלה מלאה · קשה)

    בפירמידה ABCDABCD, המקצוע DCDC מאונך למישור ABCABC. הנקודה EE נמצאת על המקצוע ADAD כך ש-AE→=t⋅AD→\overrightarrow{AE}=t\cdot\overrightarrow{AD},…

  3. יחידות ההצגה במרחב: שלושה וקטורים בלתי תלויים (שאלה קצרה · קלה)

    הווקטורים u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} במרחב בלתי תלויים לינארית. נתון:…

  4. פירמידה: וקטור מקביל למישור, שיעורים, נפח וישרים מצטלבים (שאלה מלאה · בינונית)

    בפירמידה ABCDABCD, המקצוע DCDC מאונך למישור ABCABC. הנקודה EE נמצאת על המקצוע ADAD כך ש-AE→=34AD→\overrightarrow{AE}=\frac34\overrightarrow{AD}.…

  5. פירמידה ריבועית: אורכים מתוך מכפלות סקלריות, זווית פאה וקודקוד מהנורמל (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה ישרה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע: הקטע SESE הוא גובה הפירמידה, ו-EE היא מפגש אלכסוני הבסיס. הנקודה FF היא אמצע…

  6. מנסרה ישרה שבסיסה ריבוע: גובה מתוך ניצבות למישור (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', שבסיסה הוא ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 6. הנקודה FF נמצאת על המישור ACD′ACD' כך ש:…

  7. פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, זווית עם הבסיס ומישור הבסיס (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה FF היא אמצע המקצוע ADAD. נסמן:…

  8. וקטורים בתיבה: מציאת עקב האנך, מרחק ושיקוף במישור (שאלה מלאה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AD→=u‾\overrightarrow{AD}=\underline u, AB→=v‾\overrightarrow{AB}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. נתון:…

  9. פירמידה: וקטור מקביל למישור, נפח וישרים מצטלבים (שאלה מלאה · קלה)

    בפירמידה ABCDABCD, המקצוע DCDC מאונך למישור ABCABC. הנקודה EE היא אמצע המקצוע ADAD. הנקודה FF מקיימת:…

  10. וקטור בין נקודה על מקצוע לנקודה על אלכסון התיבה (שאלה קצרה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE נמצאת על המקצוע BB′BB' כך ש-BE=14⋅BB′BE=\frac14\cdot BB'. הנקודה NN מקיימת:…

  11. הבעת צלעות הבסיס בפירמידה באמצעות וקטורים מהקודקוד (שאלה קצרה · קשה)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה FF היא אמצע המקצוע ADAD. נסמן:…

  12. פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, גובה ומישור הבסיס (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה FF היא אמצע המקצוע BCBC. נסמן:…

  13. צירוף לינארי של וקטורים בתיבה (שאלת ביניים · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה EE היא אמצע…

  14. אלכסון התיבה ומקצועותיה כצירופים של אלכסוני הפאות (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו סרטוט) שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה. נסמן:…

  15. פירמידה במערכת צירים: מישור המקביל למקצוע (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מלבן. SA הוא גובה הפירמידה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u},…

  16. הצגת וקטורים במקבילית לפי זוג וקטורים חדש (שאלת ביניים · בינונית)

    במקבילית ABCDABCD שבסרטוט נסמן AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u ו-AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v. הנקודה MM נמצאת על הצלע BCBC כך…

  17. האם וקטור ניתן להצגה לפי שני וקטורים תלויים (שאלה קצרה · קשה)

    הווקטורים u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} בלתי תלויים לינארית במישור. לכל mm ממשי מגדירים…

  18. הבעת וקטורים בקובייה באמצעות וקטורי המקצועות (שאלה קצרה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (79)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ועוד 19 שאלות במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.