דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון (צירוף לינארי ותלות לינארית), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתוןשאלה קצרה · קלה

הנקודה PP נמצאת על המשך הקטע ABAB מעבר לנקודה AA, כך ש-PA:PB=1:3PA:PB=1:3. נסמן OA→=a‾\overrightarrow{OA}=\underline{a} ו-OB→=b‾\overrightarrow{OB}=\underline{b}.

א.

הביעו את OP→\overrightarrow{OP} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}.

ב.

הנקודה MM היא אמצע הקטע PBPB. הביעו את OM→\overrightarrow{OM} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}, ומצאו את היחס AM:MBAM:MB.

שאלה 2 · וקטורים בפירמידה: אורך וקטור, מישור ויחס נפחים (בלי פרמטר)שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ו-AS=6AS=6. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה N נמצאת על המקצוע SC כך ש-SN→=13SC→\overrightarrow{SN}=\frac13\overrightarrow{SC}. נסמן: AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w, AB→=v‾\overrightarrow{AB}=\underline v, AD→=u‾\overrightarrow{AD}=\underline u.

ABCDSEN
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים AE→\overrightarrow{AE}, AN→\overrightarrow{AN} ו-EN→\overrightarrow{EN}.

ב.

חשבו את אורך הקטע EN.

ג.

ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xx, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zz.

מצאו את שיעורי הנקודות E ו-N.

ד.

הראו כי משוואת המישור ENB היא 2x+y−6=02x+y-6=0.

ה.

חשבו את המרחק של הקודקוד S ואת המרחק של הקודקוד C מהמישור ENB, וקבעו איזו מבין הפירמידות SENB ו-CENB גדולה יותר בנפחה, ופי כמה.

שאלה 3 · אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתוןשאלה קצרה · בינונית

הנקודה PP מחלקת את הקטע ABAB מבפנים ביחס AP:PB=2:3AP:PB=2:3. הנקודה QQ נמצאת על הישר ABAB מחוץ לקטע ABAB, ומקיימת QA:QB=2:3QA:QB=2:3. נסמן OA→=a‾\overrightarrow{OA}=\underline{a} ו-OB→=b‾\overrightarrow{OB}=\underline{b}.

א.

הביעו את OP→\overrightarrow{OP} ואת OQ→\overrightarrow{OQ} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}.

ב.

הביעו את PQ→\overrightarrow{PQ} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}, ומצאו את היחס PQ:ABPQ:AB.

שאלה 4 · נקודות חלוקה במשולש וישר מקביל לצלעשאלת ביניים · בינונית

במשולש OABOAB נסמן OA→=a‾\overrightarrow{OA}=\underline{a} ו-OB→=b‾\overrightarrow{OB}=\underline{b}. הנקודה PP נמצאת על הצלע OAOA כך ש-OP:PA=1:2OP:PA=1:2, והנקודה QQ היא אמצע הצלע ABAB.

א.

הביעו את הווקטורים OP→\overrightarrow{OP}, OQ→\overrightarrow{OQ} ו-PQ→\overrightarrow{PQ} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}.

ב.

הנקודה MM נמצאת על הקטע PQPQ כך ש-PM:MQ=2:1PM:MQ=2:1. הביעו את OM→\overrightarrow{OM} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}.

ג.

דרך הנקודה MM מעבירים ישר המקביל ל-OBOB. הישר חותך את הצלע OAOA בנקודה RR. מצאו את היחס OR:RAOR:RA ואת היחס RM:OBRM:OB.

שאלה 5 · חלוקה פנימית וחיצונית של קטע ואמצע הקטע שביניהןשאלת ביניים · קשה

הנקודה PP מחלקת את הקטע ABAB מבפנים ביחס AP:PB=2:3AP:PB=2:3. הנקודה QQ נמצאת על הישר ABAB מחוץ לקטע ABAB, ומקיימת QA:QB=2:3QA:QB=2:3. נסמן OA→=a‾\overrightarrow{OA}=\underline{a} ו-OB→=b‾\overrightarrow{OB}=\underline{b}.

א.

הביעו את OP→\overrightarrow{OP} ואת OQ→\overrightarrow{OQ} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}.

ב.

הביעו את PQ→\overrightarrow{PQ} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}, ומצאו את היחס PQ:ABPQ:AB.

ג.

הנקודה MM היא אמצע הקטע PQPQ. הביעו את OM→\overrightarrow{OM} באמצעות a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b}, ומצאו את היחס MA:MBMA:MB.

שאלה 6 · עקב הגובה בפירמידה שמקצועותיה מאונכים, כפונקציה של יחס המקצועותשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u} , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v} , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}. נתון: ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ, ∣u‾∣=∣v‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|, ∣w‾∣=m∣u‾∣|\underline{w}|=m|\underline{u}|, m>0m>0 הוא פרמטר. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}, ו-OH→\overrightarrow{OH} מאונך לבסיס ABC.

א.

הביעו את ss ואת kk באמצעות tt ו-mm.

ב.

הישר OH חותך את הבסיס ABC בנקודה M. הביעו את OM→\overrightarrow{OM} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} ו-mm.

ג.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הראו כי לכל mm הנקודה M נמצאת על התיכון CD, ומצאו את mm שבעבורו CM:MD=4:1CM:MD=4:1.

ד.

הציבו m=2m=\sqrt2. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים: O בראשית, והנקודות A, B, C על החלקים החיוביים של הצירים xx, yy, zz בהתאמה. נתון כי אורך הגובה OM הוא 2.

מצאו את ∣u‾∣|\underline{u}| ואת נפח הפירמידה OABC.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.