שאלות פתוחות: אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון בעזרת וקטורים, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן חלוקה פנימית וחיצונית של קטע, נקודה על המשך הקטע, ונקודות על מקצועות של תיבה ושל פירמידה שבסיסה ריבוע או משולש, שאותן מביעים בעזרת וקטורי בסיס. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם רבות ברמה בינונית ומעט קשות. אפשר לבנות מהן דף עבודה מדורג או לבחור כמה לבוחן, כשלכל שאלה פתרון מלא ואפשרות לייצוא לוורד.

108 שאלותקלה: 61בינונית: 41קשה: 6

שאלה 1 · אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתוןשאלה קצרה · קלה

הנקודה PPP נמצאת על המשך הקטע ABABAB מעבר לנקודה AAA, כך ש-PA:PB=1:3PA:PB=1:3PA:PB=1:3. נסמן OA→=a‾\overrightarrow{OA}=\underline{a}OA=a​ ו-OB→=b‾\overrightarrow{OB}=\underline{b}OB=b​.

א.

הביעו את OP→\overrightarrow{OP}OP באמצעות a‾\underline{a}a​ ו-b‾\underline{b}b​.

ב.

הנקודה MMM היא אמצע הקטע PBPBPB. הביעו את OM→\overrightarrow{OM}OM באמצעות a‾\underline{a}a​ ו-b‾\underline{b}b​, ומצאו את היחס AM:MBAM:MBAM:MB.

שאלה 2 · אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתוןשאלה קצרה · בינונית

הנקודה PPP מחלקת את הקטע ABABAB מבפנים ביחס AP:PB=2:3AP:PB=2:3AP:PB=2:3. הנקודה QQQ נמצאת על הישר ABABAB מחוץ לקטע ABABAB, ומקיימת QA:QB=2:3QA:QB=2:3QA:QB=2:3. נסמן OA→=a‾\overrightarrow{OA}=\underline{a}OA=a​ ו-OB→=b‾\overrightarrow{OB}=\underline{b}OB=b​.

א.

הביעו את OP→\overrightarrow{OP}OP ואת OQ→\overrightarrow{OQ}OQ​ באמצעות a‾\underline{a}a​ ו-b‾\underline{b}b​.

ב.

הביעו את PQ→\overrightarrow{PQ}PQ​ באמצעות a‾\underline{a}a​ ו-b‾\underline{b}b​, ומצאו את היחס PQ:ABPQ:ABPQ:AB.

שאלה 3 · עקב הגובה בפירמידה שמקצועותיה מאונכים, כפונקציה של יחס המקצועותשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u}OA=u​ , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v}OB=v​ , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}OC=w​. נתון: ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘, ∣u‾∣=∣v‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|∣u​∣=∣v​∣, ∣w‾∣=m∣u‾∣|\underline{w}|=m|\underline{u}|∣w​∣=m∣u​∣, m>0m>0m>0 הוא פרמטר. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}OH=tu​+sv​+kw​, ו-OH→\overrightarrow{OH}OH מאונך לבסיס ABC.

א.

הביעו את sss ואת kkk באמצעות ttt ו-mmm.

ב.

הישר OH חותך את הבסיס ABC בנקודה M. הביעו את OM→\overrightarrow{OM}OM באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​, w‾\underline{w}w​ ו-mmm.

ג.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הראו כי לכל mmm הנקודה M נמצאת על התיכון CD, ומצאו את mmm שבעבורו CM:MD=4:1CM:MD=4:1CM:MD=4:1.

ד.

הציבו m=2m=\sqrt2m=2​. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים: O בראשית, והנקודות A, B, C על החלקים החיוביים של הצירים xxx, yyy, zzz בהתאמה. נתון כי אורך הגובה OM הוא 2.

מצאו את ∣u‾∣|\underline{u}|∣u​∣ ואת נפח הפירמידה OABC.

שאלה 4 · וקטורים בתיבה: מנקודה על אלכסון לאנך למישורשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCDABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=12AB=12AB=12, AD=6AD=6AD=6, AA′=9AA'=9AA′=9. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′ כך ש-DE:ED′=1:2DE:ED'=1:2DE:ED′=1:2, הנקודה FFF נמצאת על האלכסון BD′BD'BD′ ומתקיים: BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}BF=t⋅BD′, 0<t<10<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את הווקטורים BD′→\overrightarrow{BD'}BD′ ו-DE→\overrightarrow{DE}DE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​.

ב.

הראו כי FE→=(t−1)u‾+(1−t)v‾+(13−t)w‾\overrightarrow{FE}=(t-1)\underline u+(1-t)\underline v+\left(\frac13-t\right)\underline wFE=(t−1)u​+(1−t)v​+(31​−t)w​.

ג.

נתון כי FEFEFE מקביל למישור הבסיס ABCDABCDABCD.

מצאו את ttt. הסבירו מדוע מקדם w‾\underline ww​ ב-FE→\overrightarrow{FE}FE חייב להתאפס.

ד.

הנקודה CCC היא ראשית הצירים. הנקודה BBB נמצאת על ציר ה-xxx בכיוון החיובי שלו, הנקודה DDD נמצאת על ציר ה-yyy בכיוון החיובי שלו, ו-C′C'C′ על ציר ה-zzz בכיוון החיובי שלו.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, DDD, D′D'D′, EEE ו-FFF.

(2)

הראו כי משוואת המישור BDEBDEBDE היא 2x+y=122x+y=122x+y=12, ומצאו את שיעורי הנקודה PPP שבה הישר העובר דרך FFF ומאונך למישור BDEBDEBDE חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'CDD′C′.

שאלה 5 · וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון אחר, הקבלה לבסיס ואנך למישורשאלה מלאה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCDABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה EEE נמצאת על המקצוע BB′BB'BB′ כך ש-BE:EB′=1:3BE:EB'=1:3BE:EB′=1:3, הנקודה FFF נמצאת על האלכסון DB′DB'DB′ ומתקיים: DF→=t⋅DB′→\overrightarrow{DF}=t\cdot\overrightarrow{DB'}DF=t⋅DB′, 0<t<10<t<10<t<1 הוא פרמטר. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את הווקטורים DB′→\overrightarrow{DB'}DB′ ו-FE→\overrightarrow{FE}FE באמצעות: u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt, אם יש צורך.

ב.

נתון כי FEFEFE מקביל למישור הבסיס ABCDABCDABCD.

מצאו את ttt.

ג.

הנקודה CCC היא ראשית הצירים. הנקודה DDD נמצאת על ציר ה-xxx בכיוון החיובי שלו, והנקודה BBB נמצאת על ציר ה-yyy בכיוון החיובי שלו. נתון: F(12,6,3)F(12,6,3)F(12,6,3).

מצאו את ∣u‾∣|\underline u|∣u​∣, ∣v‾∣|\underline v|∣v​∣, ∣w‾∣|\underline w|∣w​∣.

ד.

מן הנקודה FFF העבירו ישר המאונך למישור EFDBEFDBEFDB. ישר זה חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'CDD′C′ בנקודה PPP.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP.

שאלה 6 · וקטורים בתיבה: עקב האנך לאלכסון ואנך שפוגע בפאהשאלה מלאה · קשה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCDABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=8AB=8AB=8, AD=6AD=6AD=6, AA′=10AA'=10AA′=10. הנקודה EEE היא אמצע המקצוע DD′DD'DD′, והנקודה FFF נמצאת על האלכסון BD′BD'BD′ כך ש-BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}BF=t⋅BD′, 0<t<10<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את BD′→\overrightarrow{BD'}BD′ ואת FE→\overrightarrow{FE}FE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt.

ב.

מצאו את ttt שעבורו FEFEFE מאונך לאלכסון BD′BD'BD′.

ג.

מצאו את המרחק של הנקודה EEE מהאלכסון BD′BD'BD′.

ד.

הנקודה CCC היא ראשית הצירים. BBB נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, DDD על החלק החיובי של ציר ה-yyy, ו-C′C'C′ על החלק החיובי של ציר ה-zzz. מכאן והלאה ttt הוא פרמטר כלשהו, 0<t<10<t<10<t<1.

(1)

הסבירו מדוע המישור EFBDEFBDEFBD אינו תלוי ב-ttt, ומצאו את משוואתו.

(2)

מן הנקודה FFF מעבירים ישר המאונך למישור EFBDEFBDEFBD. מצאו את כל ערכי ttt שעבורם הישר הזה חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'CDD′C′ (כולל שפת הפאה).

שאלה 7 · פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, גובה ומישור הבסיסשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ABCDABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EEE היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה FFF היא אמצע המקצוע BCBCBC.
DCBAESF
נסמן: SE→=u‾\overrightarrow{SE}=\underline uSE=u​, SF→=v‾\overrightarrow{SF}=\underline vSF=v​, SB→=w‾\overrightarrow{SB}=\underline wSB=w​.

א.

הביעו באמצעות v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​ את הווקטור BF→\overrightarrow{BF}BF ואת הווקטור BC→\overrightarrow{BC}BC.

ב.

הסבירו מדוע EFEFEF הוא קטע אמצעים במשולש BCDBCDBCD, והביעו באמצעות u‾\underline uu​ ו-v‾\underline vv​ את הווקטור DC→\overrightarrow{DC}DC.

ג.

הקטע SESESE הוא גובה הפירמידה. נתון: ∣u‾∣=6|\underline u|=6∣u​∣=6.

הסבירו מדוע u‾⋅(w‾−u‾)=0\underline u\cdot(\underline w-\underline u)=0u​⋅(w​−u​)=0, ומצאו את הערך של u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​.

ד.

נתון: EB=5EB=5EB=5.

הזווית בין המקצוע SBSBSB ובין הבסיס היא הזווית SBESBESBE. חשבו את גודלה.

ה.

נתון: מישור הבסיס מקביל לציר zzz, E(1,2,0)E(1,2,0)E(1,2,0), B(5,5,0)B(5,5,0)B(5,5,0).

הראו כי הווקטור (3,−4,0)(3,-4,0)(3,−4,0) מאונך למישור הבסיס, ומצאו את משוואת המישור.

שאלה 8 · פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, זווית עם הבסיס ומישור הבסיסשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCDSABCD שבסיסה ABCDABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EEE היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה FFF היא אמצע המקצוע ADADAD.
DCBAESF
נסמן: SE→=u‾\overrightarrow{SE}=\underline uSE=u​, SF→=v‾\overrightarrow{SF}=\underline vSF=v​, SA→=w‾\overrightarrow{SA}=\underline wSA=w​.

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​ את הווקטורים AD→\overrightarrow{AD}AD ו-AB→\overrightarrow{AB}AB.

ב.

הקטע SESESE הוא גובה הפירמידה. נתון: ∣u‾∣=10|\underline u|=10∣u​∣=10.

מצאו את הערך של u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​.

ג.

נתון: BA→=(13,12,−5)\overrightarrow{BA}=(13,12,-5)BA=(13,12,−5).

מצאו את גודל הזווית שבין SASASA ובין הבסיס של הפירמידה.

ד.

נתון: E(1,2,3)E(1,2,3)E(1,2,3), מישור הבסיס ABCDABCDABCD מקביל לציר xxx.

מצאו את משוואת המישור שעליו מונח הבסיס של הפירמידה.

ה.

נתון: שיעור ה-zzz של הקודקוד BBB הוא 8.

מצאו את שיעורי הקודקוד BBB.

שאלה 9 · מנסרה משולשת: מציאת יחס ומציאת גובה מנפחשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B'AOBA′O′B′ שבסיסה AOBAOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ∠AOB=90∘). הנקודה KKK היא אמצע המקצוע ABABAB. הנקודה EEE נמצאת על הקטע O′BO'BO′B כך ש-O′E→=s⋅O′B→\vec{O'E}=s\cdot\vec{O'B}O′E=s⋅O′B, 0<s<10<s<10<s<1. הנקודה NNN נמצאת על הקטע AEAEAE כך ש-AN→=45⋅AE→\overrightarrow{AN}=\frac45\cdot\overrightarrow{AE}AN=54​⋅AE. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline uOA=u​, OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline vOB=v​, OO′→=w‾\vec{OO'}=\underline wOO′=w​.
OABO'A'B'

א.

הביעו את O′N→\vec{O'N}O′N באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-sss.

ב.

מצאו את הערך של sss שעבורו הנקודות KKK, NNN, O′O'O′ נמצאות על ישר אחד, ואת היחס בין O′KO'KO′K ובין O′NO'NO′N בעבור ערך זה.

ג.

הציבו s=14s=\frac14s=41​. נתון: O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0), A(12,0,0)A(12,0,0)A(12,0,0), B(0,5,0)B(0,5,0)B(0,5,0). הקודקוד O′O'O′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zzz, וגובה המנסרה אינו ידוע.

מצאו את משוואת המישור A′KB′A'KB'A′KB′. האם היא תלויה בגובה המנסרה? נמקו.

ד.

נתון כי נפח הפירמידה NA′KB′NA'KB'NA′KB′ הוא 48.

מצאו את שיעורי הנקודות O′O'O′ ו-NNN.

שאלה 10 · וקטורים במנסרה משולשת: מהבעת וקטורים לנפחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B'AOBA′O′B′ שבסיסה AOBAOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ∠AOB=90∘). הנקודה KKK היא אמצע המקצוע ABABAB. הנקודה EEE היא אמצע הקטע O′BO'BO′B. הנקודה NNN נמצאת על הקטע AEAEAE כך ש-AN→=23⋅AE→\overrightarrow{AN}=\frac23\cdot\overrightarrow{AE}AN=32​⋅AE. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline uOA=u​, OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline vOB=v​, OO′→=w‾\vec{OO'}=\underline wOO′=w​.
OABO'A'B'KEN

א.

(1)

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ את OE→\overrightarrow{OE}OE ואת AE→\overrightarrow{AE}AE.

(2)

הראו כי O′N→=13u‾+13v‾−23w‾\vec{O'N}=\frac13\underline u+\frac13\underline v-\frac23\underline wO′N=31​u​+31​v​−32​w​.

(3)

הוכיחו כי הנקודות KKK, NNN, O′O'O′ נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין O′KO'KO′K ובין O′NO'NO′N.

ב.

נתון: O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0), A(6,0,0)A(6,0,0)A(6,0,0), B(0,3,0)B(0,3,0)B(0,3,0), O′(0,0,3)O'(0,0,3)O′(0,0,3).

מצאו את שיעורי הנקודות EEE ו-NNN.

ג.

הראו כי משוואת המישור A′KB′A'KB'A′KB′ היא x+2y−6=0x+2y-6=0x+2y−6=0.

ד.

(1)

מצאו את המרחק בין הנקודה NNN ובין המישור A′KB′A'KB'A′KB′.

(2)

מצאו את נפח הפירמידה NA′KB′NA'KB'NA′KB′. (הדרכה: מצאו קודם את אמצע הקטע A′B′A'B'A′B′.)

עוד 17 שאלות על אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אמצע קטע וחלוקת קטע ביחס נתון (שאלה קצרה · בינונית)
$SABC$ פירמידה משולשת. $M$ אמצע המקצוע $AB$ , ו- $N$ אמצע המקצוע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{SM}=\underline a$ ,…
וקטורים בתיבה: מציאת עקב האנך, מרחק ושיקוף במישור (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . נתון:…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור ומרחק ממישור (עם אורכים נתונים) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע…
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה N היא אמצע המקצוע SC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים בפירמידה: מינימום, מישור בפרמטר ומישורים מאונכים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ואורכו שווה לאורך צלע הריבוע. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD.…
וקטורים בפירמידה: אורך וקטור, מישור ויחס נפחים (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ו- $AS=6$ . הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה…
מנסרה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל לאלכסון פאה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
חלוקה פנימית וחיצונית של קטע ואמצע הקטע שביניהן (שאלת ביניים · קשה)
הנקודה $P$ מחלקת את הקטע $AB$ מבפנים ביחס $AP:PB=2:3$ . הנקודה $Q$ נמצאת על הישר $AB$ מחוץ לקטע $AB$ , ומקיימת $QA:QB=2:3$ . נסמן…
אמצע מקצוע בפירמידה: הבעת וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{SF}=\underline v$ ,…
וקטורים במנסרה משולשת: יחס 5:2, מישור ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
פירמידה ישרה שבסיסה מלבן: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו- $SO$ הוא גובה הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור אלכסוני, אנך ומרחק (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים בפירמידה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק הקודקוד מהמישור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: פרמטר על מקצוע, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת…
וקטורים בתיבה: פרמטר על אלכסון, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. אורך המקצוע $AA'$ גדול פי 2 מאורך צלע הריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BB'$ …
וקטור בין שתי נקודות חלוקה על מקצועות פירמידה, עם פרמטר (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך ש- $SE=\frac35\cdot SD$ . הנקודה N מקיימת:…
נקודות חלוקה במשולש וישר מקביל לצלע (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $OAB$ נסמן $\overrightarrow{OA}=\underline{a}$ ו- $\overrightarrow{OB}=\underline{b}$ . הנקודה $P$ נמצאת על הצלע $OA$ כך ש- $OP:PA=1:2$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון, הקבלה לבסיס ואנך למישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DD'$ כך ש- $DE:ED'=3:2$ , הנקודה $F$ נמצאת על האלכסון $BD'$ …
פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, זווית עם הבסיס ומישור הבסיס · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן:…
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה M היא אמצע האלכסון BD. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים במנסרה משולשת: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח פירמידה · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $O'B$ …
וקטורים בתיבה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק נקודה ממישור · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BB'$ .
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע לפי פרמטר, משוואת מישור והשוואת נפחים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (75)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v) (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=5$ , $AC=7$ , $BC=8$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ .
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ ו- $\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ . נתון: $|\vec{u}|=4$ ,…
חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · קלה)
$ABCD$ הוא טטראדר משוכלל (כל ששת המקצועות שווים) שאורך מקצועו $2$ . הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $CD$ . נסמן:…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו $3$ (ראו שרטוט). $P$ היא נקודה על האלכסון $BD$ כך…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע (ראה ציור). כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא…
וקטורים בפירמידה ריבועית: הגובה והנפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות שאורך…
חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה פירמידה משולשת $SABC$ שכל מקצועותיה שווים ל-2. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה משולשת: מכפלות סקלריות וניצבות למישור (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ הפאות $ABD$ ו- $ACD$ הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה משולשת: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ הפאות $ABC$ ו- $ABD$ הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה שכל מקצועותיה שווים: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ כל המקצועות שווים ל-6 (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $CD$ , והנקודה $F$ היא…
חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבה $AB=4$ , $AD=2$ ו- $AA'=4$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה…
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABC$ . הבסיס $ABC$ הוא משולש שווה-צלעות שאורך צלעו 6. הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ .…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. המקצוע $AS$ מאונך לבסיס, ואורכו…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא מפגש האלכסונים בפאה $CDD'C'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע…
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 6. הנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $BD$ של…
חישוב אורכים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . נסמן: $\overrightarrow{SA}=\underline a$ , $\overrightarrow{SB}=\underline b$ ,…
כפל וקטור בסקלר (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABCD$ שבסרטוט הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ …
זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופים (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $SB$ כך ש- $SK:KB=1:3$ , והנקודה $M$ נמצאת…
וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריות (שאלה קצרה · קלה)
בשרטוט פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $SA$ כך ש- $SK:KA=1:2$ , והנקודה…
וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריות (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ כך ש- $AD:DB=2:3$ . הנקודה $E$ מקיימת: $\overrightarrow{DE}=\frac25\overrightarrow{BC}$ .
חיבור וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ שבשרטוט נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך…
חיסור וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ שבשרטוט נסמן: $\overrightarrow{CA}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{CB}=\vec{v}$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ כך…
חיסור וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
במקבילית $ABCD$ שבשרטוט נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ .
כפל וקטור בסקלר (שאלה קצרה · קלה)
במקבילית $ABCD$ שבשרטוט נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $CD$ , והנקודה…
כפל וקטור בסקלר (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ שבשרטוט הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $BD:DC=2:3$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ ,…
תכונות הפעולות: חילוף, קיבוץ ופילוג (שאלה קצרה · קלה)
$A$ , $B$ , $C$ , $D$ הן ארבע נקודות כלשהן במרחב. הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $AB$ , והנקודה $N$ היא אמצע הקטע $CD$ .
תכונות הפעולות: חילוף, קיבוץ ופילוג (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ , והנקודה $N$ נמצאת על התיכון $AM$ כך ש- $AN:NM=2:1$ . נסמן:…
זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופים (שאלה קצרה · בינונית)
בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס הוא $ABCD$ , והקודקודים $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ נמצאים מעל $A$ , $B$ , $C$ , $D$ בהתאמה.…
וקטורים בתיבה: מפגש אלכסוני פאה, ניצבות וזוויות של מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן:…
וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן:…
וקטורים בתיבה: אמצע אלכסון וזווית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבה $AB=4$ , $AD=2$ ו- $AA'=4$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה…
וקטורים בתיבה שגובהה משתנה: זווית וגובה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=h$ . הנקודה $E$ היא…
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים…
וקטורים בפירמידה גבוהה: ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים…
וקטורים בפירמידה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 3. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=3$ .…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים בתיבה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה $A'B'C'D'$ , והנקודה $P$ היא…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (בסיס עם צלעות שונות) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BS$ כך…
וקטורים בפירמידה: ניצבות בבסיס ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בפירמידה: מיקום נקודה מתנאי ניצבות (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה…
וקטורים בתיבה: ניצבות לאלכסון ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת…
וקטורים בתיבה: גובה התיבה ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $AB$ , כך…
וקטורים בקובייה: גובה במשולש אלכסונים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 6. הנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $B'D'$ של הפאה העליונה. נסמן:…
וקטורים במנסרה ישרה: הוכחת ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה…
וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ , והנקודה…
וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle DAB=60^\circ$ . גובה…
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
הנקודה $O$ אינה על הישר $AB$ . נסמן: $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ , $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ . הנקודה $P$ …
הצגה יחידה במרחב בעזרת שלושה וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
נתון מקבילון $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסו $ABCD$ , ומקצועותיו הצדדיים $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ , $DD'$ . נסמן:…
הצגה יחידה במרחב בעזרת שלושה וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בטטראדר $ABCD$ שבשרטוט הנקודות $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ הן אמצעי המקצועות $AB$ , $CD$ , $AC$ , $BD$ בהתאמה. נסמן:…
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה התיבה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $BB'$ ומקיימת $\overrightarrow{BK}=\frac13\vec{BB'}$ .…
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה המשולשת $SABC$ (ראו סרטוט) הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $SB$ ומחלקת אותו ביחס $SM:MB=2:1$ . הנקודה $N$ …
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה התיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ , והנקודה $N$ נמצאת על המקצוע $CC'$ כך…
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $CC'$ , הנקודה $Q$ היא אמצע המקצוע $AA'$ ,…
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABC$ . הנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $K$ נמצאת על הקטע $SP$ כך…
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה משולשת $ABCA'B'C'$ . הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ . הנקודה $K$ נמצאת על האלכסון $A'B$ …

ועוד 15 שאלות במחולל המבחנים.