מבחן לדוגמה: מפגש התיכונים ונקודות מיוחדות בעזרת וקטורים - כיתה י"ב 5 יח"ל

הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{BC}$ ו-$\overrightarrow{AG}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$.

הביעו את $\overrightarrow{AP}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$.

מצאו את היחסים $BD:DC$ ו-$AP:PD$.

הוכיחו כי האלכסון $BD'$ מאונך למישור $ACB'$.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש $ACB'$.

נתון: $D(0,0,0)$, $C(5,12,0)$, $A(12,n,p)$, $n$ ו-$p$ הם פרמטרים. שיעור ה-$z$ של הנקודה $B'$ הוא חיובי.

$\ell$ הוא ישר החיתוך בין המישור $ACB'$ ובין המישור $ABB'A'$.

מצאו הצגה פרמטרית של הישר $\ell$.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר $\ell$ ואינו חותך את ציר ה-$y$.

הוכיחו כי: $s=t$ ו-$k=4t$.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הנקודה M נמצאת בבסיס ABC של הפירמידה, על התיכון CD, כך ש-$CM:MD=1:2$.

הוכיחו כי: $\overrightarrow{OM}=\frac16\underline{u}+\frac16\underline{v}+\frac23\underline{w}$, והסבירו מדוע OM הוא גובה לבסיס ABC של הפירמידה.

הנקודה P נמצאת על הישר $\ell$ שעליו מונח הגובה לבסיס ABC.

הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$, את הווקטור $\overrightarrow{OP}$ שבעבורו נפח הפירמידה PABC גדול פי 3 מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

ממקמים את הפירמידה OABC במערכת צירים. הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-$x$, הנקודה B על החלק החיובי של ציר ה-$y$, והנקודה C על החלק החיובי של ציר ה-$z$. נתון: $|\underline{w}|=a$.

מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר $\ell$ שעליו נמצא הקטע OP.

הביעו באמצעות $a$ את משוואת המישור ABC.

נתון כי נפח הפירמידה OABC הוא $18$. חשבו את $a$.

הביעו את $\overrightarrow{AG}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$, ומצאו את היחס $AQ:QC$.

הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{AK}$ ו-$\overrightarrow{BL}$ באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו-$\underline{w}$.

הקטעים $AK$ ו-$BL$ נחתכים בנקודה $P$. מצאו את היחסים $AP:PK$ ו-$BP:PL$.

הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $AB$, והנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $CD$. הוכיחו כי $P$ היא אמצע הקטע $MN$.