שאלות פתוחות: מפגש התיכונים ונקודות מיוחדות בעזרת וקטורים - כיתה י"ב 5 יח"ל

הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{BC}$ ו-$\overrightarrow{AG}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$.

הביעו את $\overrightarrow{AP}$ באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו-$\underline{w}$.

הראו כי הנקודה $P$ נמצאת על הקטע $MN$, ומצאו את היחס $MP:PN$.

מצאו את הערך של $k$ שעבורו האלכסון $CA'$ מאונך למישור $BC'D$.

בסעיף זה $k$ הוא מספר חיובי כלשהו. האלכסון $CA'$ חותך את המישור $BC'D$ בנקודה E. הוכיחו כי E היא מפגש התיכונים במשולש $BC'D$, ומצאו את היחס $CE:EA'$.

נתון: $k$ הוא הערך שמצאתם בסעיף א, $D(0,0,0)$, $C(2,2,1)$, $A(2,n,p)$, $p<0$.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

שיעור ה-$z$ של הנקודה $A'$ הוא שלילי.

מצאו את שיעורי הנקודה E (מסעיף ב).

מצאו את משוואת המישור $BC'D$.

מצאו את שיעורי הנקודה M.

הראו כי $\overrightarrow{OM}$ מאונך ל-$\overrightarrow{AB}$ ול-$\overrightarrow{AC}$, והסבירו מדוע OM הוא גובה הפירמידה לבסיס ABC.

מצאו את משוואת המישור ABC.

הנקודה P נמצאת על הישר OM. מצאו את שיעורי P שבעבורם נפח הפירמידה PABC כפול מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

הביעו את $\overrightarrow{AG}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$, ומצאו את היחס $AQ:QC$.

הביעו את $\overrightarrow{AG}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$, ומצאו את היחס $AQ:QC$.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש $BC'D$. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: $\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)$.

הראו כי $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}$, והסיקו כי הנקודות C, E ו-$A'$ נמצאות על ישר אחד.

נתון: $D(0,0,0)$, $A(4,0,0)$, $C(0,4,0)$. שיעור ה-$z$ של הנקודה $C'$ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-$C'$.

$\ell$ הוא ישר החיתוך בין המישור $BC'D$ ובין המישור $BCC'B'$.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-$C'$ נמצאות על $\ell$, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר $\ell$.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר $\ell$ ואינו חותך את ציר ה-$y$.

הביעו את $\overrightarrow{AP}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$.

מצאו את היחסים $BD:DC$ ו-$AP:PD$.

הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{AK}$ ו-$\overrightarrow{BL}$ באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו-$\underline{w}$.

הקטעים $AK$ ו-$BL$ נחתכים בנקודה $P$. מצאו את היחסים $AP:PK$ ו-$BP:PL$.

הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $AB$, והנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $CD$. הוכיחו כי $P$ היא אמצע הקטע $MN$.

הביעו את $\overrightarrow{AG}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$, וחשבו את אורך הקטע $AG$.