מבחן לדוגמה: הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילות - כיתה י"ב 5 יח"ל

הווקטורים $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$ בלתי תלויים לינארית במישור. נגדיר $\underline{a}=\underline{u}+2\underline{v}$ ו-$\underline{b}=3\underline{u}+k\underline{v}$, כאשר $k$ פרמטר.

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ($\angle AOB=90^\circ$). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$. הנקודה $E$ היא אמצע הקטע $O'B$. הנקודה $N$ נמצאת על הקטע $AE$ כך ש-$\overrightarrow{AN}=\frac23\cdot\overrightarrow{AE}$. נסמן: $\overrightarrow{OA}=\underline u$, $\overrightarrow{OB}=\underline v$, $\vec{OO'}=\underline w$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו-$SO$ הוא גובה הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש-$\overrightarrow{SE}=\frac13\cdot\overrightarrow{SC}$. הנקודה $N$ היא אמצע הקטע $BE$. הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש-$\overrightarrow{BK}=\frac14\cdot\overrightarrow{BC}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\overrightarrow{OS}=\underline w$.

בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\overrightarrow{AS}=\underline w$. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SA$ כך ש-$\overrightarrow{AE}=\frac14\overrightarrow{AS}$.

הנקודות $O$, $A$ ו-$B$ אינן על ישר אחד. נסמן $\overrightarrow{OA}=\underline{u}$, $\overrightarrow{OB}=\underline{v}$. הנקודה $C$ מוגדרת על ידי $\overrightarrow{OC}=m\,\underline{u}+(m^2-1)\underline{v}$, כאשר $m$ פרמטר.

בפירמידה $ABCD$, המקצוע $DC$ מאונך למישור $ABC$. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $AD$ כך ש-$\overrightarrow{AE}=t\cdot\overrightarrow{AD}$, $0<t<1$. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{DF}=k\cdot\overrightarrow{DB}+k\cdot\overrightarrow{DC}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AC}=\underline v$, $\overrightarrow{CD}=\underline w$.