שאלות פתוחות: הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילות - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הוכחות וקטוריות: שלוש נקודות על ישר אחד ומקבילות, לכיתה י"ב, 5 יחידות. התלמידים מוכיחים ששלוש נקודות נמצאות על ישר אחד, מוצאים פרמטר שעבורו וקטורים מקבילים, ועובדים עם נקודות על מקצועות של קובייה, תיבה ופירמידה, כולל פירמידה שבה מקצוע מאונך לבסיס. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מהן שאלות הוכחה למבחן, לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל אחת וייצוא לוורד.

60 שאלותקלה: 26בינונית: 29קשה: 5

שאלה 1 · יחידות ההצגה במישור: שני וקטורים בלתי תלוייםשאלה קצרה · קלה

הווקטורים u‾\underline{u}u​ ו-v‾\underline{v}v​ בלתי תלויים לינארית במישור. נגדיר a‾=u‾+2v‾\underline{a}=\underline{u}+2\underline{v}a​=u​+2v​ ו-b‾=3u‾+kv‾\underline{b}=3\underline{u}+k\underline{v}b​=3u​+kv​, כאשר kkk פרמטר.

א.

מצאו את kkk שעבורו הווקטורים a‾\underline{a}a​ ו-b‾\underline{b}b​ תלויים לינארית.

ב.

הציבו k=4k=4k=4 והציגו את u‾\underline{u}u​ כצירוף לינארי של a‾\underline{a}a​ ו-b‾\underline{b}b​. הסבירו מדוע עבור הערך של kkk שמצאתם בסעיף א' אין הצגה כזו.

שאלה 2 · הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילותשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה OABCOABCOABC הנקודה MMM היא אמצע המקצוע ABABAB, והנקודה PPP נמצאת על המקצוע BCBCBC כך ש-BP:PC=1:3BP:PC=1:3BP:PC=1:3. הנקודה NNN נמצאת על הקטע MCMCMC, ונתון כי הנקודות AAA, PPP ו-NNN נמצאות על ישר אחד. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u}OA=u​, OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v}OB=v​, OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}OC=w​.
uvwABCOMPN

א.

מצאו את היחס MN:NCMN:NCMN:NC.

ב.

מצאו את היחס AN:NPAN:NPAN:NP.

שאלה 3 · יחידות ההצגה במישור: שני וקטורים בלתי תלוייםשאלה קצרה · קשה

הווקטורים u‾\underline{u}u​ ו-v‾\underline{v}v​ בלתי תלויים לינארית במישור. לכל mmm ממשי מגדירים a‾=(m−1)u‾+2v‾\underline{a}=(m-1)\underline{u}+2\underline{v}a​=(m−1)u​+2v​ ו-b‾=3u‾+(m+4)v‾\underline{b}=3\underline{u}+(m+4)\underline{v}b​=3u​+(m+4)v​. נתון גם הווקטור w‾=3u‾−v‾\underline{w}=3\underline{u}-\underline{v}w​=3u​−v​.

א.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם הווקטורים a‾\underline{a}a​ ו-b‾\underline{b}b​ תלויים לינארית.

ב.

לכל אחד מהערכים שמצאתם קבעו: האם אפשר להציג את w‾\underline{w}w​ כצירוף לינארי של a‾\underline{a}a​ ו-b‾\underline{b}b​? אם כן, כמה הצגות כאלה יש? אם לא, נמקו.

שאלה 4 · וקטורים בקובייה במערכת צירים: אלכסון, מפגש תיכונים וישר חיתוךשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

(1)

הביעו את הווקטורים CA′→\overrightarrow{CA'}CA′, DB→\overrightarrow{DB}DB ו-DC′→\overrightarrow{DC'}DC′ באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

(2)

הוכיחו כי CA′CA'CA′ מאונך ל-DBDBDB ול-DC′DC'DC′, והסיקו כי האלכסון CA′CA'CA′ מאונך למישור BC′DBC'DBC′D.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'DBC′D. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: CE→=13(CB→+CC′→+CD→)\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)CE=31​(CB+CC′+CD).

הראו כי CE→=13CA′→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}CE=31​CA′, והסיקו כי הנקודות C, E ו-A′A'A′ נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), A(4,0,0)A(4,0,0)A(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0)C(0,4,0). שיעור ה-zzz של הנקודה C′C'C′ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C′C'C′.

ד.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך בין המישור BC′DBC'DBC′D ובין המישור BCC′B′BCC'B'BCC′B′.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-C′C'C′ נמצאות על ℓ\ellℓ, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ellℓ.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ellℓ ואינו חותך את ציר ה-yyy.

שאלה 5 · הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילותשאלה קצרה · בינונית

הנקודות OOO, AAA ו-BBB אינן על ישר אחד. נסמן OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u}OA=u​, OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v}OB=v​. הנקודה CCC מוגדרת על ידי OC→=m u‾+(m2−1)v‾\overrightarrow{OC}=m\,\underline{u}+(m^2-1)\underline{v}OC=mu​+(m2−1)v​, כאשר mmm פרמטר.

א.

מצאו את הערך של mmm שעבורו AAA, BBB ו-CCC הן שלוש נקודות שונות הנמצאות על ישר אחד.

ב.

עבור הערך של mmm שמצאתם, קבעו איזו מבין הנקודות AAA, BBB, CCC נמצאת בין שתי האחרות, ומצאו את היחס AB:BCAB:BCAB:BC.

שאלה 6 · פירמידה: וקטור מקביל למישור עם שני פרמטריםשאלה מלאה · קשה

בפירמידה ABCDABCDABCD, המקצוע DCDCDC מאונך למישור ABCABCABC. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע ADADAD כך ש-AE→=t⋅AD→\overrightarrow{AE}=t\cdot\overrightarrow{AD}AE=t⋅AD, 0<t<10<t<10<t<1. הנקודה FFF מקיימת: DF→=k⋅DB→+k⋅DC→\overrightarrow{DF}=k\cdot\overrightarrow{DB}+k\cdot\overrightarrow{DC}DF=k⋅DB+k⋅DC. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline vAC=v​, CD→=w‾\overrightarrow{CD}=\underline wCD=w​.
ABCDE

א.

הביעו את EF→\overrightarrow{EF}EF באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​, ttt ו-kkk.

ב.

נתון: EF→\overrightarrow{EF}EF מקביל למישור ABCABCABC.

הביעו את kkk ואת EF→\overrightarrow{EF}EF באמצעות ttt.

ג.

האם קיים ערך של ttt שעבורו הישרים EFEFEF ו-ABABAB מקבילים? האם קיים ערך של ttt שעבורו הם נחתכים? נמקו, ומצאו ישר במישור ABCABCABC שעובר דרך AAA ושהישר EFEFEF מקביל לו לכל ערך של ttt.

ד.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(6,0,0)B(6,0,0)B(6,0,0), C(0,8,0)C(0,8,0)C(0,8,0), הנקודה DDD נמצאת מעל המישור ABCABCABC (שיעור ה-zzz שלה חיובי), ונפח הפירמידה הוא 96.

מצאו את שיעורי הנקודה DDD.

ה.

נתון: אורך הקטע EFEFEF הוא 2.5.

מצאו את ttt ואת שיעורי הנקודות EEE ו-FFF.

שאלה 7 · פירמידה: וקטור מקביל למישור, נפח וישרים מצטלביםשאלה מלאה · קלה

בפירמידה ABCDABCDABCD, המקצוע DCDCDC מאונך למישור ABCABCABC. הנקודה EEE היא אמצע המקצוע ADADAD. הנקודה FFF מקיימת: DF→=k⋅DB→+k⋅DC→\overrightarrow{DF}=k\cdot\overrightarrow{DB}+k\cdot\overrightarrow{DC}DF=k⋅DB+k⋅DC, kkk הוא פרמטר. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline vAC=v​, CD→=w‾\overrightarrow{CD}=\underline wCD=w​.
ABCDE

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ את הווקטורים AD→\overrightarrow{AD}AD, DB→\overrightarrow{DB}DB ו-ED→\overrightarrow{ED}ED.

ב.

הראו כי: EF→=ku‾+(12−k)v‾+(12−2k)w‾\overrightarrow{EF}=k\underline u+\left(\frac12-k\right)\underline v+\left(\frac12-2k\right)\underline wEF=ku​+(21​−k)v​+(21​−2k)w​.

ג.

נתון: EF→\overrightarrow{EF}EF מקביל למישור ABCABCABC.

הסבירו מדוע מקדם w‾\underline ww​ בביטוי של EF→\overrightarrow{EF}EF חייב להיות 0, ומצאו את kkk.

ד.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0), B(4,2,0)B(4,2,0)B(4,2,0), C(0,4,0)C(0,4,0)C(0,4,0). אורך המקצוע DCDCDC הוא 6, ו-DDD נמצא מעל המישור ABCABCABC (שיעור ה-zzz שלו חיובי).

מצאו את שיעורי הנקודה DDD ואת נפח הפירמידה.

ה.

מצאו את שיעורי הנקודות EEE ו-FFF, וקבעו מהו המצב ההדדי בין הישר EFEFEF לבין הישר ABABAB. נמקו.

שאלה 8 · הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילותשאלה קצרה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ (הבסיס ABCDABCDABCD, והמקצועות הצדדיים AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′, DD′DD'DD′). הנקודה EEE נמצאת על המקצוע ABABAB כך ש-AE:EB=1:2AE:EB=1:2AE:EB=1:2. הנקודה PPP נמצאת על האלכסון AC′AC'AC′ כך שהנקודות D′D'D′, PPP ו-EEE נמצאות על ישר אחד. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}AA′=w​.
uvwABCDA'B'C'D'EP

א.

מצאו את היחס AP:PC′AP:PC'AP:PC′.

ב.

מצאו את היחס D′P:PED'P:PED′P:PE.

שאלה 9 · מנסרה משולשת: מציאת יחס ומציאת גובה מנפחשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B'AOBA′O′B′ שבסיסה AOBAOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ∠AOB=90∘). הנקודה KKK היא אמצע המקצוע ABABAB. הנקודה EEE נמצאת על הקטע O′BO'BO′B כך ש-O′E→=s⋅O′B→\vec{O'E}=s\cdot\vec{O'B}O′E=s⋅O′B, 0<s<10<s<10<s<1. הנקודה NNN נמצאת על הקטע AEAEAE כך ש-AN→=45⋅AE→\overrightarrow{AN}=\frac45\cdot\overrightarrow{AE}AN=54​⋅AE. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline uOA=u​, OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline vOB=v​, OO′→=w‾\vec{OO'}=\underline wOO′=w​.
OABO'A'B'

א.

הביעו את O′N→\vec{O'N}O′N באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-sss.

ב.

מצאו את הערך של sss שעבורו הנקודות KKK, NNN, O′O'O′ נמצאות על ישר אחד, ואת היחס בין O′KO'KO′K ובין O′NO'NO′N בעבור ערך זה.

ג.

הציבו s=14s=\frac14s=41​. נתון: O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0), A(12,0,0)A(12,0,0)A(12,0,0), B(0,5,0)B(0,5,0)B(0,5,0). הקודקוד O′O'O′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zzz, וגובה המנסרה אינו ידוע.

מצאו את משוואת המישור A′KB′A'KB'A′KB′. האם היא תלויה בגובה המנסרה? נמקו.

ד.

נתון כי נפח הפירמידה NA′KB′NA'KB'NA′KB′ הוא 48.

מצאו את שיעורי הנקודות O′O'O′ ו-NNN.

שאלה 10 · וקטורים בתיבה: מנקודה על אלכסון לאנך למישורשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCDABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=12AB=12AB=12, AD=6AD=6AD=6, AA′=9AA'=9AA′=9. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע DD′DD'DD′ כך ש-DE:ED′=1:2DE:ED'=1:2DE:ED′=1:2, הנקודה FFF נמצאת על האלכסון BD′BD'BD′ ומתקיים: BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}BF=t⋅BD′, 0<t<10<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו את הווקטורים BD′→\overrightarrow{BD'}BD′ ו-DE→\overrightarrow{DE}DE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​.

ב.

הראו כי FE→=(t−1)u‾+(1−t)v‾+(13−t)w‾\overrightarrow{FE}=(t-1)\underline u+(1-t)\underline v+\left(\frac13-t\right)\underline wFE=(t−1)u​+(1−t)v​+(31​−t)w​.

ג.

נתון כי FEFEFE מקביל למישור הבסיס ABCDABCDABCD.

מצאו את ttt. הסבירו מדוע מקדם w‾\underline ww​ ב-FE→\overrightarrow{FE}FE חייב להתאפס.

ד.

הנקודה CCC היא ראשית הצירים. הנקודה BBB נמצאת על ציר ה-xxx בכיוון החיובי שלו, הנקודה DDD נמצאת על ציר ה-yyy בכיוון החיובי שלו, ו-C′C'C′ על ציר ה-zzz בכיוון החיובי שלו.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, DDD, D′D'D′, EEE ו-FFF.

(2)

הראו כי משוואת המישור BDEBDEBDE היא 2x+y=122x+y=122x+y=12, ומצאו את שיעורי הנקודה PPP שבה הישר העובר דרך FFF ומאונך למישור BDEBDEBDE חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'CDD′C′.

עוד 22 שאלות על הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $PQR$ נסמן $\overrightarrow{PQ}=\underline{a}$ , $\overrightarrow{PR}=\underline{b}$ . הנקודה $S$ מוגדרת על ידי…
הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילות (שאלה קצרה · קשה)
הנקודות $O$ , $A$ ו- $B$ אינן על ישר אחד. נסמן $\overrightarrow{OA}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{OB}=\underline{v}$ . הנקודה $C$ מוגדרת על…
וקטורים במנסרה משולשת: מהבעת וקטורים לנפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
וקטורים בקובייה: האלכסון BD' והמשולש ACB' (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
מציאת פרמטר כך ששלוש נקודות במנסרה יהיו על ישר אחד (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
וקטורים בתיבה: נקודה במישור ומרחק ממישור (עם אורכים נתונים) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע…
פירמידה: וקטור מקביל למישור, שיעורים, נפח וישרים מצטלבים (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה $ABCD$ , המקצוע $DC$ מאונך למישור $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $AD$ כך ש- $\overrightarrow{AE}=\frac34\overrightarrow{AD}$ .…
קטע במנסרה המקביל למישור הבסיס (שאלה קצרה · קלה)
נתונה מנסרה משולשת $ABCA'B'C'$ (ראו סרטוט; הבסיסים $ABC$ ו- $A'B'C'$ ). הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $AA'$ כך ש- $AM:MA'=1:2$ , והנקודה $N$ נמצאת…
יחידות ההצגה במרחב: שלושה וקטורים בלתי תלויים (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $SABC$ הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $SA$ כך ש- $\overrightarrow{SM}=\frac13\overrightarrow{SA}$ . הנקודה $N$ מקיימת:…
מפגש התיכונים על אלכסון הקובייה: שלוש נקודות על ישר אחד (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון אחר, הקבלה לבסיס ואנך למישור (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BB'$ כך ש- $BE:EB'=1:3$ , הנקודה $F$ נמצאת על…
יחידות ההצגה במרחב: שלושה וקטורים בלתי תלויים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מנסרה משולשת $ABCA'B'C'$ (הבסיסים $ABC$ ו- $A'B'C'$ ). הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $AA'$ כך ש- $AM:MA'=1:2$ , והנקודה $N$ נמצאת על האלכסון…
וקטורים במנסרה משולשת: יחס 5:2, מישור ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
הוכחות: נקודות על ישר אחד ומקבילות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה פירמידה $SABC$ . הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SB$ כך ש- $\overrightarrow{SE}=\frac23\overrightarrow{SB}$ , והנקודה $N$ נמצאת על…
פירמידה ישרה שבסיסה מלבן: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו- $SO$ הוא גובה הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור אלכסוני, אנך ומרחק (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
יחידות ההצגה במרחב: שלושה וקטורים בלתי תלויים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $F$ היא אמצע…
וקטורים בפירמידה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק הקודקוד מהמישור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
ערכי פרמטר שעבורם שני וקטורים תלויים לינארית (שאלה קצרה · בינונית)
הווקטורים $\underline{u}$ ו- $\underline{v}$ בלתי תלויים לינארית. לכל $k$ ממשי מגדירים $\underline{a}=k\underline{u}+9\underline{v}$ …
הצגת מקצוע בטטראדר באמצעות שני קטעים המחברים אמצעי מקצועות (שאלה קצרה · בינונית)
בטטראדר $ABCD$ שבסרטוט הנקודות $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ הן אמצעי המקצועות $AB$ , $CD$ , $AC$ , $BD$ בהתאמה. נסמן:…
האם נקודה נמצאת במישור: השוואת מקדמים בפירמידה (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
שלוש נקודות על ישר אחד בפירמידה שבסיסה מלבן (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו- $SO$ הוא גובה הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בקובייה: אלכסון מאונך למישור, מפגש תיכונים, ישר ומישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AA'}=\underline w$ .
פירמידה: וקטור מקביל למישור, שיעורים, נפח וישרים מצטלבים · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 2
בפירמידה $ABCD$ , המקצוע $DC$ מאונך למישור $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $AD$ . הנקודה $F$ מקיימת:…
וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון, הקבלה לבסיס ואנך למישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DD'$ כך ש- $DE:ED'=3:2$ , הנקודה $F$ נמצאת על האלכסון $BD'$ …
וקטורים במנסרה משולשת: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח פירמידה · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $O'B$ …
וקטורים בתיבה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק נקודה ממישור · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BB'$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (23)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הצגה יחידה במישור בעזרת שני וקטורים לא קולינאריים (שאלה קצרה · קלה)
הווקטורים $\vec{u}$ ו- $\vec{v}$ אינם מקבילים. נתון: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}+k\vec{v}$ …
וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריות (שאלה קצרה · קלה)
בשרטוט פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $SA$ כך ש- $SK:KA=1:2$ , והנקודה…
וקטורים קולינאריים והתנאי לקולינאריות (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ כך ש- $AD:DB=2:3$ . הנקודה $E$ מקיימת: $\overrightarrow{DE}=\frac25\overrightarrow{BC}$ .
הצגה יחידה במישור בעזרת שני וקטורים לא קולינאריים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה מקבילית $ABCD$ . הנקודה $E$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ , מעבר ל- $B$ , כך ש- $BE=\frac12AB$ . הישר $DE$ חותך את…
כפל וקטור בסקלר (שאלה קצרה · קלה)
במקבילית $ABCD$ שבשרטוט נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $CD$ , והנקודה…
זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופים (שאלה קצרה · קלה)
בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודות $K$ , $L$ , $M$ , $N$ הן אמצעי המקצועות $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ …
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה התיבה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). $P$ היא אמצע המקצוע $AD$ ו- $R$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ . הנקודה $Q$ נמצאת…
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים בתיבה: מפגש אלכסוני פאה, ניצבות וזוויות של מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן:…
וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן:…
וקטורים בתיבה: אמצע אלכסון וזווית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבה $AB=4$ , $AD=2$ ו- $AA'=4$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה…
שוויון, חיבור וכפל בסקלר בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · קלה)
$ABCD$ היא מקבילית. נתון: $A(1,1,1)$ , $B(5,3,-1)$ ו- $D(2,-1,4)$ . $E$ היא אמצע הצלע $BC$ ו- $F$ היא אמצע הצלע…
הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABC$ . הנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $K$ נמצאת על הקטע $SP$ כך…
וקטורים בקובייה: טרפז שקודקודו במרכז הקובייה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה קובייה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BB'$ , והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $AC'$ . נסמן:…
וקטורים בתיבה: טרפז שקודקודו במרכז התיבה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $CC'$ , והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $BD'$ . נסמן:…
וקטורים בתיבה: טרפז בין מרכז התיבה למקצוע (שאלה מלאה · קלה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=4$ . הנקודה $E$ היא אמצע האלכסון…
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע מקביל לצלע הבסיס, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ ,…
וקטורים בפירמידה מרובעת: קטע מקביל לצלע הבסיס, זווית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה הוא המקבילית ABCD. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע מקביל לצלע הבסיס וזווית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ ,…
וקטורים קולינאריים בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הנקודות $A(1,0,2)$ , $B(3,1,5)$ , $C(k,3,11)$ , כאשר $k$ פרמטר.
תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית, שטח ונקודות על ישר (שאלה מלאה · בינונית)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על…
תיבה במערכת צירים: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · קלה)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על…
תיבה במערכת צירים: מקבילית עם נקודה משתנה (שאלה מלאה · קלה)
תיבה $ABCDA'B'C'D'$ ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד $D$ נמצא בראשית הצירים. הקודקודים $A$ , $C$ , $D'$ נמצאים על…