מבחן לדוגמה: שטחים והיקפים של צורות גיאומטריות - כיתה ט'

לוח מודעות מלבני בכיתה: אורכו $1.6$ מ' ורוחבו $0.5$ מ'. חשבו את שטח הלוח במ"ר. אחר כך כתבו את האורך ואת הרוחב בס"מ, וחשבו את השטח בסמ"ר. כמה סמ"ר יש במ"ר אחד?

השטח של משטח שולחן הוא $6{,}500$ סמ"ר. אבי כתב: "השטח הוא $65$ מ"ר, כי במטר יש $100$ ס"מ, ולכן מחלקים ב-$100$." הסבירו מה הטעות של אבי, ומצאו את השטח הנכון במ"ר.

מה השטח של כל מלבן? האם אחת הצלעות של המלבן הקטן יכולה להיות באורך $5$ ס"מ? נמקו.

המלבן הגדול $ABCD$ הוא $16$ ס"מ על $3$ ס"מ, והמלבן הקטן $EFGH$ הוא $6$ ס"מ על $4$ ס"מ. הצלע $EF$ של המלבן הקטן, שאורכה $6$ ס"מ, מונחת כולה על הצלע $DC$ של המלבן הגדול, שאורכה $16$ ס"מ. הקטע $EF$ מסומן בקו מקווקו.

חשבו את ההיקף של הצורה. אחר כך מסובבים את המלבן הקטן, כך שהצלע שלו שאורכה $4$ ס"מ מונחת כולה על הצלע $DC$. מה ההיקף עכשיו? האם השטח של הצורה השתנה?

חשבו את השטח ואת ההיקף של כל מגש. בדקו את הטענה: "למגשים מלבניים שיש להם אותו שטח יש גם אותו היקף."

קבעו לכל משפט אם הוא נתון, מסקנה או השערה, ונמקו.

(1) לשלושת המגשים אותו שטח.

(2) הרוחב של מגש ב הוא $24$ ס"מ.

(3) גם כל מגש מלבני שהחנות תזמין בעתיד יהיה בשטח $720$ סמ"ר.

האם הטבלה מספיקה כדי להכריע במשפט (3)? הסבירו.

חשבו את שטח הצורה בחיבור שטחים. הסבירו למה אפשר לחשב את השטח אף שהמקום של $E$ ושל $D$ לא ידוע.

משלימים את הצורה למלבן החוסם $ABGH$: הנקודה $H$ נמצאת מעל $F$, הנקודה $G$ מעל $C$, והנקודות $E$ ו-$D$ נמצאות על הצלע $HG$. מחוץ לצורה נשארים שני משולשים ישרי זווית, $FHE$ ו-$DGC$. מצאו את סכום השטחים של שני המשולשים בלי לחשב כל אחד מהם בנפרד, ובדקו שמתקבל השטח מסעיף א. האם אותו מלבן חוסם מתאים גם לצורה שבה $E$ נמצאת משמאל לישר $AF$ (הטרפז בולט מעבר למלבן)? נמקו.

איזה חלק משטח הצורה הוא שטח הטרפז? משאירים את המלבן $ABCF$ ואת $ED=4$ ס"מ, ומשנים רק את גובה הטרפז. מה צריך להיות גובה הטרפז כדי ששטחו יהיה בדיוק חצי משטח הצורה כולה? הסבירו מה התנאי הכללי לכך שהטרפז הוא בדיוק חצי מהצורה.

הביעו את השטח של הצורה באמצעות $h$ ו-$k$, ומצאו קשר בין $h$ ל-$k$. כמה זוגות $(h,k)$ של מספרים שלמים חיוביים מתאימים? רשמו אותם.

נתון גם $h=7$. האם הנתונים קובעים את ההיקף של הצורה? נמקו בעזרת שתי אפשרויות למקום של הקודקוד $E$ (ושל $F$ בהתאם).

חשבו את השטח של כל אחד משני המשולשים שנחתכו. הסבירו למה השטחים שווים, אף שהמשולשים אינם חופפים.

רון רשם: "שטח השלט $216$ סמ"ר". בלי לחשב את השטח הנכון, הסבירו למה כל תוצאה של $240$ סמ"ר או יותר בוודאי שגויה. אחר כך מצאו איזה אזור רון לא החסיר, ומצאו את השטח הנכון של השלט.

בדקו את התשובה בדרך אחרת: מורידים מ-$P$ אנך לצלע $KL$, והרגל שלו היא הנקודה $T$. האנך $PT$ מחלק את השלט לשני טרפזים ישרי זווית, $KTPQ$ ו-$TLSP$. חשבו את השטח של כל טרפז ואת סכום השטחים.

$O$ הוא מרכז המעגל, והנקודות $A$ ו-$B$ נמצאות על המעגל. הקטע $AB$ ארוך ב-$4$ ס"מ מהרדיוס של המעגל, והיקף המשולש $OAB$ הוא $52$ ס"מ.

חשבו את הרדיוס ואת הקוטר של המעגל, את היקף המעגל ואת שטח העיגול.

בתוך מלבן מונחים שישה עיגולים שווים, בשתי שורות של שלושה עיגולים. העיגולים נוגעים זה בזה ובצלעות המלבן, כמו בסרטוט. סכום השטחים של ששת העיגולים הוא $54\pi$ סמ"ר.

חשבו את הרדיוס של כל עיגול, את אורכי הצלעות של המלבן ואת שטח המלבן.

הסבירו למה הנקודה $M$ היא אמצע השביל $AB$.

(1) חשבו את הרדיוס של המדשאה ואת ההיקף של המשולש $OAB$.

(2) ממשיכים את הקטע $OM$ מעבר לנקודה $M$ עד שפת המדשאה, בנקודה $N$. חשבו את אורך הקטע $MN$.

לאורך כל השפה של המדשאה מקימים גדר נמוכה. כמה מטרים של גדר צריך? מה השטח של המדשאה? כתבו כל תשובה עם $\pi$, ואחר כך בקירוב, עם $\pi\approx3.14$.