מבחן לדוגמה: הסתברות - כיתה ט'

מהי ההסתברות שעל הכרטיס רשום מספר ראשוני? מהי ההסתברות שעל הכרטיס רשום מספר שמתחלק ב-$5$?

חשבו את הממוצע של שמונת המספרים. מהי ההסתברות שעל הכרטיס רשום מספר קטן מהממוצע?

מהי ההסתברות שהתלמיד הראשון יוציא כרטיס כחול?

חמשת התלמידים הראשונים הוציאו כרטיסים. עכשיו ההסתברות שהתלמיד השישי יוציא כרטיס כחול היא $\frac{9}{25}$.

(1) כמה כרטיסים כחולים וכמה כרטיסים לבנים הוציאו חמשת התלמידים הראשונים?

(2) האם ייתכן שאחרי חמשת התלמידים הראשונים ההסתברות שהתלמיד השישי יוציא כרטיס כחול תהיה $\frac12$? נמקו.

בקופסה כדורים בשלושה צבעים בלבד: אדום, כחול וירוק. מוציאים כדור אחד באקראי. ההסתברות להוציא כדור אדום היא $\frac16$, וההסתברות להוציא כדור כחול היא $\frac49$. מה ההסתברות שהכדור יהיה אדום או כחול? מה ההסתברות שהכדור לא יהיה אדום ולא כחול? שירה חישבה את ההסתברות שהכדור יהיה גם אדום וגם כחול כך: $\frac16\cdot\frac49$. מה הטעות שלה?

בקופסה אחרת יש כדורים צהובים, לבנים וכתומים. בדוח כתוב: "ההסתברות להוציא כדור צהוב היא $0.65$, וההסתברות להוציא כדור לבן היא $0.45$." הכריעו אם הדוח אפשרי, ונמקו.

רשמו את כל התוצאות האפשריות. מה ההסתברות לקבל לב בשני הסיבובים? מה ההסתברות לקבל אותו סמל בשני הסיבובים?

עומר אומר: "(כוכב, לב) ו-(לב, כוכב) הן אותה תוצאה, ולכן יש רק שלוש תוצאות: שני כוכבים, שני לבבות, כוכב ולב. ההסתברות של כל אחת היא $\frac13$." מה ההסתברות האמיתית לקבל כוכב אחד ולב אחד, בסדר כלשהו? הסבירו את הטעות של עומר.

בנו טבלה של כל התוצאות: שורה לכל תוצאה של הקובייה, ועמודה לכל אחת מ-$4$ הגזרות של הגלגל (גם לשתי הגזרות של $1$). בכל תא רשמו את הסכום. כמה תאים יש בטבלה? הסבירו למה כל התאים שווי סיכוי.

מה ההסתברות שהסכום יהיה $5$?

רוצים לחשב את ההסתברות למאורע "בקובייה יצא מספר גדול מ-$4$, ובגלגל יצא $1$". שרטטו מודל שטח עם שני חלקים לקובייה ("גדול מ-$4$" ו"לא גדול מ-$4$") ושני חלקים לגלגל ("$1$" ו"לא $1$"), וחשבו את ההסתברות.

בדקו את התשובה של סעיף ג בעזרת הטבלה מסעיף א.

הסבירו למה מודל השטח עם ארבעה אזורים מסעיף ג לא מתאים לחישוב ההסתברות של סעיף ב, ולמה הטבלה מתאימה לו.

שרטטו דיאגרמת עץ לניסוי, ורשמו על כל ענף את ההסתברות שלו.

שרטטו מודל שטח לאותו ניסוי. רשמו את הרוחב ואת הגובה של כל אזור, ואת השטח שלו.

מה ההסתברות ששתי ההגשות יצליחו? מה ההסתברות ששתי ההגשות ייכשלו?

מה ההסתברות שלפחות הגשה אחת תצליח?

מה ההסתברות שההגשה השנייה תצליח? האם היא גדולה או קטנה מההסתברות שההגשה הראשונה תצליח?

מה ההסתברות שמייצגת משבצת קטנה אחת? כמה משבצות קטנות יש בכל אחד מארבעת האזורים של מודל השטח?

זוכים בפרס כשמתקבל אדום עם צהוב, או כחול עם ירוק. מה ההסתברות לזכות בפרס? חשבו פעם אחת בספירת משבצות ופעם אחת בכפל ובחיבור של הסתברויות.

נניח שבגלגל הראשון ההסתברות לאדום היא $\frac{1}{3}$ ולכחול $\frac{2}{3}$, והגלגל השני לא השתנה. האם אפשר לשרטט את מודל השטח על אותה רשת של $10$ שורות ו-$10$ עמודות, כך שכל אזור יהיה מורכב ממשבצות שלמות? רוצים לשרטט את המודל על רשת אחרת, של עמודות שוות ושורות שוות (המשבצות יהיו מלבנים קטנים שווים, לא בהכרח ריבועים), כך שכל אזור יהיה מורכב ממשבצות שלמות. כמה עמודות וכמה שורות לפחות צריכות להיות ברשת? כמה משבצות יהיו בה?

שרטטו מודל שטח לניסוי: חלקו את הריבוע (שצלעו $1$) לפי מה שקיבל נועם, וכל חלק לפי מה שקיבל ליאור. רשמו את השטח של כל אזור.

חשבו את ההסתברות שליאור יקבל נושא קל. האם ליאור צודק?

הכלילו: נניח שיש $n$ מעטפות, ובדיוק $k$ מהן עם נושא קל ($0<k<n$). הראו שגם במקרה זה ההסתברות שליאור יקבל נושא קל שווה להסתברות שנועם יקבל נושא קל.

תלמידה הסיקה: "לכל אחד מהשניים ההסתברות לנושא קל היא $\frac{3}{8}$, ולכן ההסתברות ששניהם יקבלו נושא קל היא $\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}$". הסבירו בעזרת מודל השטח מה הטעות, ומצאו את ההסתברות הנכונה ששניהם יקבלו נושא קל.

במבחן אחר יש גם $8$ מעטפות, אבל מספר המעטפות עם נושא קל שונה. ההסתברות ששני התלמידים יקבלו נושא קל היא $\frac{3}{14}$. כמה מעטפות עם נושא קל יש במבחן הזה?