מבחן לדוגמה: פירוק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר - כיתה ט'

כתבו ביטוי לשטח המרוצף (במ"ר).

פרקו לגורמים את הביטוי שמצאתם בסעיף א, בעזרת נוסחת הפרש ריבועים.

אורך הצלע של הרחבה הוא $33$ מטרים. חשבו בלי מחשבון את השטח המרוצף בעזרת הפירוק מסעיף ב. בדקו את התשובה בחישוב לפי הביטוי מסעיף א.

הראו שהביטוי $4x^2+20x+25$ הוא ריבוע של סכום, וכתבו אותו כריבוע. היעזרו בשאלות: איזה ביטוי בריבוע נותן $4x^2$? איזה מספר בריבוע נותן $25$? האם האיבר האמצעי שווה לפעמיים המכפלה שלהם?

כתבו גם את הביטוי $4x^2-20x+25$ כריבוע של ביטוי. מה אורך הצלע של כל אחד מהלוחות?

בכמה סנטימטרים ארוכה הצלע של הלוח הגדול מהצלע של הלוח הקטן? בכמה סנטימטרים גדול ההיקף של הלוח הגדול מההיקף של הלוח הקטן?

בטאו את ההפרש בין השטחים של שני הלוחות כביטוי פשוט. היעזרו בנוסחת הפרש ריבועים $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, כאשר $a=2x+5$ ו-$b=2x-5$.

אורך הצלע של הלוח הגדול הוא $45$ ס"מ. מצאו את $x$, את אורך הצלע של הלוח הקטן ואת השטחים של שני הלוחות. בדקו שההפרש בין השטחים מתאים לסעיף ד.

$999 \cdot 1001 =$

$\frac{224 \cdot 14 + 224 \cdot 6}{117^2 - 107^2} =$

פרקו כל אחד מהביטויים פירוק מלא. כתבו לכל ביטוי באיזה כלי או באילו כלים השתמשתם: גורם משותף, הפרש ריבועים, ריבוע של הפרש.

איזה גורם מופיע בפירוק של שלושת הביטויים? איזה גורם מופיע בפירוק של $A$ ושל $C$ אבל לא בפירוק של $B$? הסבירו בעזרת הפירוק למה $C=x\cdot A$.

חשבו בלי מחשבון את הערכים של $A$ ושל $B$ עבור $x=59$. היעזרו בפירוק.

כתבו את $A-B$ כמכפלה: הוציאו את הגורם המשותף מתוך הפירוקים של $A$ ושל $B$, ופשטו את מה שנשאר בסוגריים. בדקו את התוצאה בעזרת הערכים שמצאתם בסעיף ג.

פתחו את $(x+2y+1)^2$: סמנו $A=x+2y$ ו-$B=1$, השתמשו בנוסחה, ופתחו גם את $A^2$. כמה איברים יש בתוצאה?

כתבו את הביטוי $x^2+6xy+9y^2-8x-24y+16$ כריבוע של ביטוי. הדרכה: כתבו את שלושת האיברים הראשונים כריבוע, והוציאו גורם משותף משני האיברים שאחריהם.

כתבו את המספר $21$ בצורה $a^2-b^2$ בשתי דרכים שונות. הדרכה: $a-b$ ו-$a+b$ הם שני מספרים שלמים חיוביים שמכפלתם $21$, ו-$a+b$ הוא הגדול מביניהם.

הסבירו למה כל מספר אי-זוגי שגדול מ-$1$ אפשר לכתוב כהפרש של ריבועים של שני מספרים שלמים עוקבים. הדרכה: מספר אי-זוגי שגדול מ-$1$ הוא מהצורה $2k+1$, כאשר $k$ שלם חיובי. פרקו את $(k+1)^2-k^2$.

הראו שכל כפולה של $4$ שגדולה מ-$4$, כלומר מספר מהצורה $4k$ כאשר $k$ שלם ו-$k\ge 2$, אפשר לכתוב בצורה $a^2-b^2$. הדרכה: פרקו את $(k+1)^2-(k-1)^2$. למה צריך את התנאי $k\ge 2$?

הסבירו למה אי אפשר לכתוב את המספר $30$ בצורה $a^2-b^2$. הדרכה: הסכום של $a-b$ ו-$a+b$ הוא $2a$. מה אפשר להסיק על הזוגיות של שני הגורמים?

מצאו את כל המספרים מ-$1$ עד $12$ שאי אפשר לכתוב בצורה $a^2-b^2$ (עם $a$ ו-$b$ שלמים חיוביים). נמקו.