שאלות פתוחות: פירוק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר - כיתה ט'

שאלות על פירוק לגורמים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר לכיתה ט': זיהוי ריבוע שלם והפרש ריבועים וכתיבתם כמכפלה. לצד חישובים יעילים בלי מחשבון יש מציאת מספרים p ו-q כך שהשוויון יתקיים לכל x, וגם שתי "הוכחות" שגויות - שאין ראשוניים גדולים מ-19 ושמתקיים 2=1 - שבהן צריך לאתר את השלב הפסול. השאלות בנויות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו את מה שמתאים לכיתה והפכו אותו לבוחן או לדף עבודה עם פתרונות.

39 שאלותרמה א': 16רמה ב': 9מצוינות: 14

שאלה 1 · זיהוי ריבוע שלם לפי האיבר האמצעישאלה קצרה · רמה א'

ביטוי מהצורה a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2a2+2ab+b2 או a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2a2−2ab+b2 נקרא ריבוע שלם, כי אפשר לכתוב אותו כריבוע של ביטוי: (a+b)2(a+b)^2(a+b)2 או (a−b)2(a-b)^2(a−b)2.

א.

לכל אחד מארבעת הביטויים קבעו אם הוא ריבוע שלם. אם כן, כתבו אותו כריבוע של ביטוי. אם לא, הסבירו למה.
(1) 16x2+40x+2516x^2+40x+2516x2+40x+25
(2) 16x2+20x+2516x^2+20x+2516x2+20x+25
(3) x2−22x+121x^2-22x+121x2−22x+121
(4) x2+22x−121x^2+22x-121x2+22x−121

ב.

כתבו כל אחד מהביטויים כריבוע של ביטוי, או כמכפלה של −1-1−1 בריבוע של ביטוי. שימו לב לסדר האיברים ולסימנים.
(1) 36+y2−12y36+y^2-12y36+y2−12y
(2) −x2+14x−49-x^2+14x-49−x2+14x−49

שאלה 2 · חישוב יעיל בעזרת גורם משותףשאלה קצרה · רמה ב'

חשבו ביעילות, ללא שימוש במחשבון. היעזרו בפירוק לגורמים ובנוסחאות הכפל המקוצר.

א.

142⋅8+142⋅2=142 \cdot 8 + 142 \cdot 2 =142⋅8+142⋅2=

ב.

25⋅39+25⋅61=25 \cdot 39 + 25 \cdot 61 =25⋅39+25⋅61=

שאלה 3 · "הוכחה" שאין מספרים ראשוניים גדולים מ- $19$ שאלה קצרה · מצוינות

לבטח הנכם מכירים מספרים ראשוניים גדולים מ-191919. אבל להלן "הוכחה" לכך שלא קיימים מספרים ראשוניים גדולים מ-191919: ניקח מספר nnn כלשהו, כך ש n>19n > 19n>19, אם nnn זוגי, אזי הוא לא ראשוני. אבל, אם nnn הוא אי-זוגי, אזי המספרים n+12\frac{n+1}{2}2n+1​ ו-n−12\frac{n-1}{2}2n−1​ הם מספרים טבעיים ומתקיים השוויון הבא: n=(n+12)2−(n−12)2n = \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 - \left(\frac{n-1}{2}\right)^2n=(2n+1​)2−(2n−1​)2, וזהו ביטוי מהצורה n=a2−b2=(a−b)(a+b)n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)n=a2−b2=(a−b)(a+b).
כלומר: ניתן לבטא את nnn כמכפלה של שני גורמים, ולכן הוא איננו מספר ראשוני.

כיצד תיישבו את הסתירה: מצד אחד, אתם מכירים מספרים גדולים מ-191919 שהם ראשוניים, ומצד שני לפנינו "הוכחה" שאין כאלה?

שאלה 4 · מספרים חסרים בפירוקשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף ppp ו-qqq הם מספרים חיוביים. מצאו אותם כך שהשוויון יתקיים לכל ערך של xxx. נמקו.

א.

px2−49=(5x−q)(5x+q)px^2-49=(5x-q)(5x+q)px2−49=(5x−q)(5x+q)

ב.

3x2−px+48=3(x−q)23x^2-px+48=3(x-q)^23x2−px+48=3(x−q)2

שאלה 5 · חישוב יעיל בעזרת גורם משותף: שברים ועשרונייםשאלה קצרה · רמה ב'

חשבו ביעילות, ללא שימוש במחשבון. היעזרו בפירוק לגורמים ובנוסחאות הכפל המקוצר.

א.

5⋅113+5⋅23=5 \cdot 1\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{2}{3} =5⋅131​+5⋅32​=

ב.

5.6⋅27+5.6⋅13−5.6⋅30=5.6 \cdot 27 + 5.6 \cdot 13 - 5.6 \cdot 30 =5.6⋅27+5.6⋅13−5.6⋅30=

שאלה 6 · "הוכחה" ש- $2 = 1$ : איפה הטעות?שאלת ביניים · מצוינות

יואב כתב "הוכחה" לכך ש-2=12=12=1. הוא התחיל משני מספרים שווים aaa ו-bbb, ששניהם שונים מ-000.
שורהמה כתב יואבמה עשה
(1)a=ba=ba=bהנתון
(2)a2=aba^2=aba2=abכפל שני האגפים ב-aaa
(3)a2−b2=ab−b2a^2-b^2=ab-b^2a2−b2=ab−b2חיסור b2b^2b2 משני האגפים
(4)(a+b)(a−b)=b(a−b)(a+b)(a-b)=b(a-b)(a+b)(a−b)=b(a−b)פירוק לגורמים של שני האגפים
(5)a+b=ba+b=ba+b=bחילוק שני האגפים ב-(a−b)(a-b)(a−b)
(6)2b=b2b=b2b=bהצבה של a=ba=ba=b
(7)2=12=12=1חילוק שני האגפים ב-bbb

שורה	מה כתב יואב	מה עשה
(1)	$a=b$	הנתון
(2)	$a^2=ab$	כפל שני האגפים ב- $a$
(3)	$a^2-b^2=ab-b^2$	חיסור $b^2$ משני האגפים
(4)	$(a+b)(a-b)=b(a-b)$	פירוק לגורמים של שני האגפים
(5)	$a+b=b$	חילוק שני האגפים ב- $(a-b)$
(6)	$2b=b$	הצבה של $a=b$
(7)	$2=1$	חילוק שני האגפים ב- $b$

א.

איך קיבל יואב את שורה (4) משורה (3)? כתבו באיזו נוסחה או באיזו דרך פירוק השתמש בכל אחד מהאגפים, ובדקו שהפירוק נכון.

ב.

הציבו a=5a=5a=5 ו-b=5b=5b=5 בשורות (1) עד (5). מהי השורה הראשונה שאינה נכונה?

ג.

מה הטעות במעבר משורה (4) לשורה (5)? הסבירו גם למה החילוק ב-bbb, במעבר משורה (6) לשורה (7), הוא פעולה מותרת.

שאלה 7 · חישוב יעיל: עשרוניים, הפרש ריבועים וריבוע של סכוםשאלה קצרה · רמה א'

חשבו ביעילות, ללא שימוש במחשבון. היעזרו בפירוק לגורמים ובנוסחאות הכפל המקוצר.

א.

9.3⋅10.7=(10−0.7)(10+0.7)=9.3 \cdot 10.7 = (10-0.7)(10+0.7) =9.3⋅10.7=(10−0.7)(10+0.7)=

ב.

5.12+2⋅5.1⋅4.9+4.92=5.1^2 + 2 \cdot 5.1 \cdot 4.9 + 4.9^2 =5.12+2⋅5.1⋅4.9+4.92=

שאלה 8 · חישוב יעיל בעזרת הפרש ריבועיםשאלה קצרה · רמה ב'

חשבו ביעילות, ללא שימוש במחשבון. היעזרו בפירוק לגורמים ובנוסחאות הכפל המקוצר.

א.

582−482=58^2 - 48^2 =582−482=

ב.

106⋅94=106 \cdot 94 =106⋅94=

שאלה 9 · אילו מספרים הם הפרש של שני ריבועים?שאלה מלאה · מצוינות

בשאלה זו נבדוק אילו מספרים שלמים חיוביים אפשר לכתוב בצורה a2−b2a^2-b^2a2−b2, כאשר aaa ו-bbb הם מספרים שלמים חיוביים ו-a>ba>ba>b. למשל, 16=52−3216=5^2-3^216=52−32.
בכל השאלה היעזרו בפירוק a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b).

א.

כתבו את המספר 212121 בצורה a2−b2a^2-b^2a2−b2 בשתי דרכים שונות. הדרכה: a−ba-ba−b ו-a+ba+ba+b הם שני מספרים שלמים חיוביים שמכפלתם 212121, ו-a+ba+ba+b הוא הגדול מביניהם.

ב.

הסבירו למה כל מספר אי-זוגי שגדול מ-111 אפשר לכתוב כהפרש של ריבועים של שני מספרים שלמים עוקבים. הדרכה: מספר אי-זוגי שגדול מ-111 הוא מהצורה 2k+12k+12k+1, כאשר kkk שלם חיובי. פרקו את (k+1)2−k2(k+1)^2-k^2(k+1)2−k2.

ג.

הראו שכל כפולה של 444 שגדולה מ-444, כלומר מספר מהצורה 4k4k4k כאשר kkk שלם ו-k≥2k\ge 2k≥2, אפשר לכתוב בצורה a2−b2a^2-b^2a2−b2. הדרכה: פרקו את (k+1)2−(k−1)2(k+1)^2-(k-1)^2(k+1)2−(k−1)2. למה צריך את התנאי k≥2k\ge 2k≥2?

ד.

הסבירו למה אי אפשר לכתוב את המספר 303030 בצורה a2−b2a^2-b^2a2−b2. הדרכה: הסכום של a−ba-ba−b ו-a+ba+ba+b הוא 2a2a2a. מה אפשר להסיק על הזוגיות של שני הגורמים?

ה.

מצאו את כל המספרים מ-111 עד 121212 שאי אפשר לכתוב בצורה a2−b2a^2-b^2a2−b2 (עם aaa ו-bbb שלמים חיוביים). נמקו.

שאלה 10 · חישוב יעיל: הפרש ריבועים ושברשאלה קצרה · רמה א'

חשבו ביעילות, ללא שימוש במחשבון. היעזרו בפירוק לגורמים ובנוסחאות הכפל המקוצר.

א.

999⋅1001=999 \cdot 1001 =999⋅1001=

ב.

224⋅14+224⋅61172−1072=\frac{224 \cdot 14 + 224 \cdot 6}{117^2 - 107^2} =1172−1072224⋅14+224⋅6​=

עוד 22 שאלות על פירוק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

רחבה עם מזרקה: שטח בעזרת הפרש ריבועים (שאלת ביניים · רמה ב')
רחבה היא ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו $x$ מטרים ( $x>3$ ). באמצע הרחבה בנו מזרקה בצורת ריבוע $EFGH$ שאורך צלעו $3$ מטרים. את כל הרחבה, חוץ מהמזרקה,…
ריבוע של הפרש בשני משתנים (שאלה קצרה · מצוינות)
פרקו לגורמים:
חישוב יעיל של שברים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר (שאלה קצרה · רמה א')
חשבו ביעילות, ללא שימוש במחשבון. היעזרו בפירוק לגורמים ובנוסחאות הכפל המקוצר.
שני לוחות מודעות ריבועיים (שאלה מלאה · רמה ב')
בכיתה תלו שני לוחות מודעות בצורת ריבוע. השטח של הלוח הגדול הוא $4x^2+20x+25$ סמ"ר, והשטח של הלוח הקטן הוא $4x^2-20x+25$ סמ"ר ( $x>3$ ).
הפרש ריבועים וריבוע שלם עם שברים (שאלה קצרה · מצוינות)
פרקו לגורמים:
הצלע החסרה של מלבן: קודם גורם משותף ואחר כך נוסחה (שאלת ביניים · רמה א')
השטח של מלבן הוא $3x^2-12$ סמ"ר ( $x>2$ ). אורך אחת הצלעות של המלבן הוא $x+2$ ס"מ.
הפרש ריבועים כשאחד הריבועים הוא סוגריים (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל ביטוי אחד הריבועים הוא ריבוע של סוגריים. התייחסו לסוגריים כאל איבר אחד, פרקו בעזרת הנוסחה $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ , ופשטו את מה שבתוך כל…
ריבוע שלם וטרינום בשני משתנים (שאלה קצרה · מצוינות)
פרקו לגורמים:
שלושה ביטויים עם גורם משותף: פירוק, חישוב והפרש (שאלה מלאה · רמה א')
נתונים שלושה ביטויים: $A=x^2-81\qquad B=x^2-18x+81\qquad C=x^3-81x$
משלימים את החסר בנוסחאות (שאלה קצרה · רמה ב')
השלימו את החסר במקום כל $\square$ , כך שהשוויון יתקיים לכל ערך של המשתנה. כל מספר חסר הוא מספר חיובי, וכל ביטוי חסר הוא מספר חיובי כפול…
סכומים ומכפלות ארוכים בעזרת הפרש ריבועים (שאלה קצרה · מצוינות)
חשבו בלי מחשבון. היעזרו בשוויון $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .
גורם משותף והפרש ריבועים (שאלה קצרה · רמה א')
פרקו לגורמים:
חלוקה לקבוצות והפרש ריבועים (שאלה קצרה · מצוינות)
פרקו פירוק מלא. היעזרו בחלוקה לקבוצות ובנוסחת הפרש ריבועים, ובדקו שאף גורם אינו ניתן לפירוק נוסף.
ריבוע שלם אחרי גורם משותף; סוגריים כגורם משותף (שאלה קצרה · רמה א')
פרקו לגורמים:
פירוק מספרים גדולים בעזרת הפרש ריבועים (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו משתמשים בנוסחה $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ כדי לפרק מספרים גדולים לגורמים, בלי מחשבון.
פירוק מלא בהפרש ריבועים; ריבוע שלם עם שבר עשרוני (שאלה קצרה · רמה א')
פרקו לגורמים:
ריבוע של סכום שלושה איברים (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו מעלים בריבוע סכום של שלושה איברים בעזרת הנוסחה $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ , כאשר $A$ עצמו סכום של שני איברים.
סכום, הפרש והפרש ריבועים (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף השתמשו בשוויון $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ . אל תמצאו קודם כל מספר בנפרד.
מתי שני ריבועים שווים (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו משתמשים בכך שמכפלה שווה ל- $0$ רק כאשר לפחות אחד הגורמים שלה שווה ל- $0$ .
בודקים פירוקים: נכון? מלא? (שאלה קצרה · רמה א')
תלמידים פירקו ביטויים. לכל שוויון קבעו אם הוא נכון לכל ערך של המשתנה (בדקו בפתיחת סוגריים), ואם אפשר להמשיך לפרק. תקנו כל שוויון שגוי,…
ביטוי ארוך שערכו קבוע (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף הראו שערך הביטוי שווה לאותו מספר לכל ערך של $x$ , ומצאו את המספר, בלי לפתוח את הסוגריים. הדרכה: סמנו כל סוגריים באות, וחפשו נוסחה של…
שטח של ריבוע או שטח של מלבן? (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים ארבעה ביטויים, שמייצגים שטחים בסמ"ר. בכל השאלה $x$ הוא מספר גדול מ- $1$ .…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הפרש ריבועים וריבוע של הפרש (שאלה קצרה · רמה ב')
פרקו לגורמים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.
גורם משותף ואחריו נוסחת כפל מקוצר (שאלה קצרה · רמה א')
פרקו לגורמים פירוק מלא: קודם הוציאו גורם משותף, ואחר כך היעזרו בנוסחאות הכפל המקוצר.
הפרש ריבועים של ביטויים (שאלה קצרה · מצוינות)
פרקו לגורמים פירוק מלא.
ריבוע מלא, הפרש ריבועים וחישוב ערך (שאלת ביניים · רמה א')
נתון הביטוי $E=x^2-10x+25-y^2$ .
הפרש ריבועים וריבוע של הפרש (שאלה קצרה · רמה ב')
רשמו כל אחד מהביטויים כמכפלה, בעזרת נוסחה מתאימה של הכפל המקוצר.
פירוק מלא: גורם משותף ונוסחאות הכפל המקוצר (שאלה קצרה · רמה א')
פרקו לגורמים פירוק מלא.
פירוק ותכונות התחלקות של מספרים שלמים (שאלת ביניים · מצוינות)
בשאלה זו $n$ הוא מספר שלם.