מבחן לדוגמה: שטחים והיקפים של מצולעים וצורות מורכבות - כיתה ט'

מצאו את הרוחב של דגם ב. חשבו גם את השטח של דגם א ואת השטח של דגם ג.

לפניכם שלושה משפטים. קבעו לכל משפט אם הוא נתון (כתוב בשאלה), מסקנה (נובע מחישוב על הנתונים) או השערה (אי אפשר להכריע בו לפי הנתונים). נמקו.

(1) האורך של דגם א הוא $18$ ס"מ.

(2) לדגם א ולדגם ג יש אותו שטח.

(3) בבית הדפוס ימכרו יותר מדבקות מדגם ג מאשר מדגם א.

לוח מודעות מלבני בכיתה: אורכו $1.6$ מ' ורוחבו $0.5$ מ'. חשבו את שטח הלוח במ"ר. אחר כך כתבו את האורך ואת הרוחב בס"מ, וחשבו את השטח בסמ"ר. כמה סמ"ר יש במ"ר אחד?

השטח של משטח שולחן הוא $6{,}500$ סמ"ר. אבי כתב: "השטח הוא $65$ מ"ר, כי במטר יש $100$ ס"מ, ולכן מחלקים ב-$100$." הסבירו מה הטעות של אבי, ומצאו את השטח הנכון במ"ר.

חשבו את השטח ואת ההיקף של כל מגש. בדקו את הטענה: "למגשים מלבניים שיש להם אותו שטח יש גם אותו היקף."

קבעו לכל משפט אם הוא נתון, מסקנה או השערה, ונמקו.

(1) לשלושת המגשים אותו שטח.

(2) הרוחב של מגש ב הוא $24$ ס"מ.

(3) גם כל מגש מלבני שהחנות תזמין בעתיד יהיה בשטח $720$ סמ"ר.

האם הטבלה מספיקה כדי להכריע במשפט (3)? הסבירו.

מגרש בצורת ריבוע, אורך צלעו $70$ מ'. מה השטח שלו במ"ר ובדונמים? חלקה מלבנית אחרת, ששטחה $2.4$ דונם, רוחבה $30$ מ'. מה האורך שלה?

השטח של זכוכית לחלון הוא $4{,}500$ סמ"ר. נועה מחלקת ב-$10{,}000$ כדי לכתוב את השטח במ"ר. הסבירו למה ההמרה מסמ"ר למ"ר היא חילוק, ולמה דווקא ב-$10{,}000$. מה השטח במ"ר? השטח של זכוכית אחרת הוא $0.36$ מ"ר. מה השטח שלה בסמ"ר?

חשבו את השטח של כל אחד משני המשולשים שנחתכו. הסבירו למה השטחים שווים, אף שהמשולשים אינם חופפים.

רון רשם: "שטח השלט $216$ סמ"ר". בלי לחשב את השטח הנכון, הסבירו למה כל תוצאה של $240$ סמ"ר או יותר בוודאי שגויה. אחר כך מצאו איזה אזור רון לא החסיר, ומצאו את השטח הנכון של השלט.

בדקו את התשובה בדרך אחרת: מורידים מ-$P$ אנך לצלע $KL$, והרגל שלו היא הנקודה $T$. האנך $PT$ מחלק את השלט לשני טרפזים ישרי זווית, $KTPQ$ ו-$TLSP$. חשבו את השטח של כל טרפז ואת סכום השטחים.

חשבו את שטח הצורה בחיבור שטחים. הסבירו למה אפשר לחשב את השטח אף שהמקום של $E$ ושל $D$ לא ידוע.

משלימים את הצורה למלבן החוסם $ABGH$: הנקודה $H$ נמצאת מעל $F$, הנקודה $G$ מעל $C$, והנקודות $E$ ו-$D$ נמצאות על הצלע $HG$. מחוץ לצורה נשארים שני משולשים ישרי זווית, $FHE$ ו-$DGC$. מצאו את סכום השטחים של שני המשולשים בלי לחשב כל אחד מהם בנפרד, ובדקו שמתקבל השטח מסעיף א. האם אותו מלבן חוסם מתאים גם לצורה שבה $E$ נמצאת משמאל לישר $AF$ (הטרפז בולט מעבר למלבן)? נמקו.

איזה חלק משטח הצורה הוא שטח הטרפז? משאירים את המלבן $ABCF$ ואת $ED=4$ ס"מ, ומשנים רק את גובה הטרפז. מה צריך להיות גובה הטרפז כדי ששטחו יהיה בדיוק חצי משטח הצורה כולה? הסבירו מה התנאי הכללי לכך שהטרפז הוא בדיוק חצי מהצורה.