מבחן לדוגמה: מכפלה ומנה של חזקות עם בסיס שווה - כיתה ט'

כתבו את $\frac{5^6}{5^2}$ כשבר שבו המונה והמכנה כתובים ככפל חוזר של $5$. צמצמו את השבר, וכתבו את התוצאה כחזקה של $5$.

היעזרו בדרך של סעיף א והסבירו למה $\frac{a^n}{a^k}=a^{n-k}$, כאשר $n$ ו-$k$ מספרים טבעיים, $n>k$ ו-$a\neq 0$. למה צריך את התנאי $a\neq 0$?

השתמשו בחוק מסעיף ב: חשבו את $\frac{5^{10}}{5^7}$, ומצאו את המעריך החסר בשוויון $\frac{5^{\square}}{5^3}=5^8$.

העתיקו את הטבלה והשלימו אותה. איך עוברים מערך בטבלה לערך שאחריו?

חשבו את $9\cdot 729$ בלי לכפול את המספרים: כתבו כל מספר כחזקה של $3$, השתמשו בחוק המכפלה של חזקות, וקראו את התוצאה מהטבלה.

חשבו באותה דרך את $6{,}561:243$.

באיזה מספר צריך לכפול את $81$ כדי לקבל $2{,}187$? פתרו בעזרת המעריכים.

יואב אמר: "גם $27+243$ נמצא בטבלה, כי $3^3+3^5=3^{3+5}=3^8$." האם יואב צודק? הסבירו.

נתונים ארבעה ערכים: $a=-2$, $a=-\frac{1}{2}$, $a=\frac{1}{2}$, $a=2$.

לכל אחד מאי-השוויונות קבעו עבור אילו מארבעת הערכים הוא מתקיים. הראו את החישוב.

(1) $\frac{1}{a}<a^3$ (2) $\frac{1}{a}>a^4$

(1) מצאו את כל המספרים הטבעיים $n$ שעבורם $\left(\frac{2}{3}\right)^n>\left(\frac{2}{3}\right)^3$. הסבירו.

(2) הסבירו למה לכל $a>1$ מתקיים $\frac{1}{a}<a^3$.

כתבו כל ביטוי בצורה הפשוטה ביותר:

(1) $\frac{12x^{15}}{3x^{9}}$ (2) $\frac{a^{30}}{4a^{18}}$ (3) $\frac{-20a^7b^9}{5a^2b^3}$

(4) $\frac{6^{12}}{2\cdot 6^{12}}$ (5) $\frac{9x^4y^6\cdot x^2y}{-3x^3y^5}$

מצאו את המעריך החסר במקום $\square$:

(1) $\frac{5^{\square}}{5^4}=5^9$ (2) $\frac{3^6\cdot 3^{11}}{3^{\square}}=1$

(3) $\frac{x^7\cdot x^{\square}}{x^{10}\cdot x^2}=x^5$ (4) $a^{\square}\cdot a^4=\frac{a^{25}}{a^5}$

ידוע ש-$3^a\cdot 3^b=3^{14}$ וגם $\frac{3^a}{3^b}=3^6$. כתבו שתי משוואות שבהן הנעלמים הם $a$ ו-$b$, ופתרו אותן.

באופן כללי נתון ש-$3^a\cdot 3^b=3^p$ וגם $\frac{3^a}{3^b}=3^q$, כאשר $p$ ו-$q$ מספרים טבעיים. בטאו את $a$ ואת $b$ באמצעות $p$ ו-$q$.

האם יש מספרים טבעיים $a$ ו-$b$ כך ש-$3^a\cdot 3^b=3^{13}$ וגם $\frac{3^a}{3^b}=3^6$? הסבירו בעזרת סעיף ב. מה צריך להתקיים במספרים $p$ ו-$q$ כדי שיהיו מספרים טבעיים $a$ ו-$b$ כאלה?

בדקו אם השוויון $a^n+a^k=a^{n+k}$ מתקיים בכל אחת מהדוגמאות: (1) $a=3$, $n=2$, $k=4$ (2) $a=2$, $n=3$, $k=3$ (3) $a=2$, $n=1$, $k=1$.

נניח ש-$n=k$. הסבירו למה השוויון $a^n+a^n=a^{2n}$ מתקיים רק כאשר $a^n=2$, ומצאו את כל הערכים של $a$ ושל $n$ שעבורם הוא מתקיים.

נניח ש-$n<k$. הוציאו גורם משותף והראו ש-$a^n+a^k=a^n\left(1+a^{k-n}\right)$. הסבירו למה במקרה זה השוויון $a^n+a^k=a^{n+k}$ מתקיים בדיוק כאשר $1+a^{k-n}=a^k$.

הסבירו למה כאשר $n<k$ השוויון $1+a^{k-n}=a^k$ אינו מתקיים לאף $a$ טבעי. כתבו את כל המקרים שבהם $a^n+a^k=a^{n+k}$.