שאלות פתוחות: מכפלה ומנה של חזקות עם בסיס שווה - כיתה ט'

שאלות על מכפלה ומנה של חזקות עם בסיס שווה, לכיתה ט'. התלמידים כותבים ביטויים כחזקה אחת, מחשבים בלי מחשבון, ובודקים פי כמה 7⁴² גדול מ-7⁴¹. יש שאלות שמסבירות מאיפה בא חוק החילוק, שאלות שבהן מבררים מתי באמת מחברים מעריכים, והוכחה קצרה עם הוצאת חזקה משותפת. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מהן דף עבודה או בוחן, וקבלו פתרונות מלאים בקובץ Word.

37 שאלותרמה א': 21רמה ב': 8מצוינות: 8

שאלה 1 · סדר פעולות עם חזקות ומעריך חסרשאלה קצרה · רמה א'

פתרו בלי מחשבון.

א.

חשבו את ערך הביטוי 5957+5⋅52−53:5\frac{5^9}{5^7}+5\cdot 5^2-5^3:55759​+5⋅52−53:5.

ב.

מצאו את המספר הטבעי nnn המקיים 2n⋅2523=512\frac{2^n\cdot 2^5}{2^3}=512232n⋅25​=512.

שאלה 2 · כתיבת מכפלה ומנה כחזקה אחתשאלה קצרה · רמה ב'

כתבו כל ביטוי כחזקה אחת. בכל הסעיפים x≠0x\neq 0x=0.

א.

(1) 34⋅353^4\cdot 3^534⋅35   (2) x7⋅xx^7\cdot xx7⋅x   (3) 103⋅102⋅10410^3\cdot 10^2\cdot 10^4103⋅102⋅104

ב.

(1) 6964\frac{6^9}{6^4}6469​   (2) x12:x5x^{12}:x^5x12:x5   (3) 25⋅2628\frac{2^5\cdot 2^6}{2^8}2825⋅26​ (חשבו גם את ערכו של הביטוי השלישי)

שאלה 3 · הסימן של מכפלה ומנה של חזקות עם בסיס שלילישאלה קצרה · מצוינות

בשאלה זו nnn הוא מספר טבעי (n=1,2,3,…n=1, 2, 3, \dotsn=1,2,3,…).

א.

הסבירו למה הביטוי (−2)n⋅(−2)n+1(-2)^n\cdot(-2)^{n+1}(−2)n⋅(−2)n+1 שלילי לכל nnn טבעי.

ב.

מצאו את כל המספרים הטבעיים nnn שעבורם הביטוי (−5)n+7(−5)4\frac{(-5)^{n+7}}{(-5)^4}(−5)4(−5)n+7​ חיובי. הסבירו.

שאלה 4 · פי כמה גדולה חזקה מחזקה אחרת עם אותו בסיסשאלה קצרה · רמה א'

פי כמה גדול 7427^{42}742 מ- 7417^{41}741?
פי כמה גדולים ab+1,ab+2,ab+3a^{b+1}, a^{b+2}, a^{b+3}ab+1,ab+2,ab+3 מ- aba^bab (a>1)(a>1)(a>1)?

ענו על השאלה.

שאלה 5 · כפל של חזקות לעומת חיבור של חזקותשאלה קצרה · רמה ב'

בשאלה זו נבדוק מתי מחברים את המעריכים.

א.

חשבו את 23⋅242^3\cdot 2^423⋅24 ואת 23+242^3+2^423+24. איזה משני הביטויים שווה ל-272^727?

ב.

דנה כתבה: 32⋅34=963^2\cdot 3^4=9^632⋅34=96. הסבירו מה הטעות, וכתבו את התוצאה הנכונה כחזקה אחת.

שאלה 6 · האם ייתכן ש- $a^{5} = a^{6}$ או ש- $a^{5} > a^{6}$ שאלה קצרה · מצוינות

חזקות עם מעריך טבעי

א.

האם ייתכן ש- a5=a6a^5 = a^6a5=a6? נמקו.

ב.

האם ייתכן ש- a5>a6a^5 > a^6a5>a6? נמקו.

שאלה 7 · סכום של שלוש חזקות עוקבות של 3שאלה קצרה · רמה א'

הראו כי 3100+3101+3102=3100⋅133^{100}+3^{101}+3^{102}=3^{100}\cdot 133100+3101+3102=3100⋅13

ענו על השאלה.

שאלה 8 · למה מחסרים מעריכים בחילוק חזקותשאלת ביניים · רמה ב'

בשאלה זו נבין את החוק לחילוק של חזקות עם בסיס שווה, ונשתמש בו.

א.

כתבו את 5652\frac{5^6}{5^2}5256​ כשבר שבו המונה והמכנה כתובים ככפל חוזר של 555. צמצמו את השבר, וכתבו את התוצאה כחזקה של 555.

ב.

היעזרו בדרך של סעיף א והסבירו למה anak=an−k\frac{a^n}{a^k}=a^{n-k}akan​=an−k, כאשר nnn ו-kkk מספרים טבעיים, n>kn>kn>k ו-a≠0a\neq 0a=0. למה צריך את התנאי a≠0a\neq 0a=0?

ג.

השתמשו בחוק מסעיף ב: חשבו את 51057\frac{5^{10}}{5^7}57510​, ומצאו את המעריך החסר בשוויון 5□53=58\frac{5^{\square}}{5^3}=5^8535□​=58.

שאלה 9 · שני מעריכים לא ידועים: מכפלה ומנה נתונותשאלת ביניים · מצוינות

בשאלה זו aaa ו-bbb הם מספרים טבעיים (1,2,3,…1, 2, 3, \dots1,2,3,…), ו-a>ba>ba>b.

א.

ידוע ש-3a⋅3b=3143^a\cdot 3^b=3^{14}3a⋅3b=314 וגם 3a3b=36\frac{3^a}{3^b}=3^63b3a​=36. כתבו שתי משוואות שבהן הנעלמים הם aaa ו-bbb, ופתרו אותן.

ב.

באופן כללי נתון ש-3a⋅3b=3p3^a\cdot 3^b=3^p3a⋅3b=3p וגם 3a3b=3q\frac{3^a}{3^b}=3^q3b3a​=3q, כאשר ppp ו-qqq מספרים טבעיים. בטאו את aaa ואת bbb באמצעות ppp ו-qqq.

ג.

האם יש מספרים טבעיים aaa ו-bbb כך ש-3a⋅3b=3133^a\cdot 3^b=3^{13}3a⋅3b=313 וגם 3a3b=36\frac{3^a}{3^b}=3^63b3a​=36? הסבירו בעזרת סעיף ב. מה צריך להתקיים במספרים ppp ו-qqq כדי שיהיו מספרים טבעיים aaa ו-bbb כאלה?

שאלה 10 · השלמת מכנה במנה של חזקותשאלה קצרה · רמה א'

השלימו את המכנה באגף שמאל:

2a3b5____=12a\frac{2a^3b^5}{\_\_\_\_} = \frac{1}{2}a____2a3b5​=21​a

עוד 22 שאלות על מכפלה ומנה של חזקות עם בסיס שווה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

טבלאות ערכים וגרפי נקודות: חיבור, כפל וחזקות (שאלת ביניים · רמה ב')
חזקות עם מעריך טבעי
חקירה: מתי סכום של חזקות שווה למכפלה שלהן (שאלה מלאה · מצוינות)
לפי חוק המכפלה $a^n\cdot a^k=a^{n+k}$ . בשאלה זו נחקור מתי גם הסכום $a^n+a^k$ שווה ל- $a^{n+k}$ . בכל השאלה $a$ , $n$ ו- $k$ הם מספרים טבעיים…
צמח שמכפיל את שטחו בכל שעה (שאלה קצרה · רמה א')
בבריכה גדל צמח שצף על פני המים. בכל שעה הצמח מכפיל את שטחו (השטח של הצמח בתום כל שעה הוא פי 2 מאשר בתחילתה). כעבור 30 שעות מתחילת גדילתו…
טבלת חזקות של 3: כפל בעזרת חיבור מעריכים (שאלה מלאה · רמה ב')
בטבלה שלפניכם רשומות חזקות של $3$ . במשך כל השאלה אין להשתמש במחשבון.
ספרת האחדות של חזקות של 7 (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו בודקים את ספרת האחדות של החזקות $7^1, 7^2, 7^3, \ldots$ בלי לחשב מספרים גדולים.
לוח אותות עם נורות צבעוניות (שאלת ביניים · רמה א')
בתחנת רכבת מתקינים לוח אותות שבו שורה של נורות. כל נורה יכולה להיות כבויה, אדומה, צהובה או ירוקה. כל אפשרות למצב של כל הנורות יחד היא אות…
איזה מספר שווה ל- $2^{10}$ ? (שאלה קצרה · רמה ב')
אילו מהמספרים הבאים שווים ל- $2^{10}$ ? א. $2^5\cdot 2^2$ ב. $2^3\cdot 2^7$ ג. $(2^5)^2$ ד. $2^{20}:2^2$ ה. $\left(\frac{10}{5}\right)^2$ ו.…
ערכים של חזקות בלי לדעת את הבסיס (שאלה קצרה · מצוינות)
$a$ הוא מספר חיובי, ו- $u$ , $v$ הם מספרים טבעיים, $u>v$ . ידוע ש- $a^u=32$ ו- $a^v=2$ .
אריזת קוביות בקופסה בעזרת חזקות של 2 (שאלת ביניים · רמה א')
לקופסה צורה של תיבה. אורך הקופסה $32$ ס"מ, רוחבה $16$ ס"מ וגובהה $8$ ס"מ.
כפל חד-איברים וכינוס: תרגול ראשון (שאלה קצרה · רמה ב')
פשטו ככל האפשר.
עוצמת קול בדציבלים: כפל וחילוק של חזקות של 10 (שאלה מלאה · רמה א')
את עוצמת הקול מודדים בדציבלים. הקול השקט ביותר שאוזן של אדם יכולה לשמוע הוא $0$ דציבלים, ונאמר שעוצמתו היא יחידה אחת. כל תוספת של $10$ …
מנה של חזקות ומעריך חסר: תרגול ראשון (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל הסעיפים $x$ , $y$ ו- $a$ שונים מ- $0$ .
סדרה עם חוקיות כפלית: האיבר במקום ה- $n$ (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם סדרת מספרים עם חוקיות כפלית: $3, 6, 12, 24\ldots$
מעריכים חסרים במשוואות עם חזקות של $2$ (שאלה קצרה · רמה א')
חזקות עם מעריך טבעי
איזה ביטוי גדול יותר? (שאלה מלאה · רמה א')
קבעו בכל אחד מהסעיפים הבאים איזה ביטוי גדול יותר? הסבירו את תשובתכם.
הגרפים של $y = 2^{n}$ ו- $y = 4^{n}$ (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם הגרפים של הפונקציות $y = 2^n$ ו- $y = 4^n$ ( $n$ מספר טבעי).
חזקות שהמעריכים שלהן ביטויים (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי ( $n=1, 2, 3, \ldots$ ), ו- $a\neq0$ .
מושבת חיידקים: מגורם הגדילה אל הזמן (שאלת ביניים · רמה א')
במעבדה מגדלים מושבה של חיידקים. בכל $20$ דקות מספר החיידקים במושבה גדל פי אותו מספר. כעבור $40$ דקות מתחילת הניסוי ספרו $360$ חיידקים,…
אילו מעריכים מתאימים לתחום? (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $n$ הוא מספר שלם שאינו שלילי ( $n=0, 1, 2, \ldots$ ).
חזקות של מספר בין 0 ל-1 ושל מספר שלילי (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $a\neq 0$ .
כפל של חד-איברים וכינוס איברים דומים (שאלה קצרה · רמה א')
פשטו ככל האפשר. כתבו בכל חד-איבר את המקדם לפני המשתנים.
מנה של חד-איברים ומעריך חסר (שאלה קצרה · רמה א')
בכל הסעיפים $x$ , $y$ , $a$ ו- $b$ שונים מ- $0$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הוצאה של חזקה משותפת במונה ובמכנה (שאלה קצרה · מצוינות)
נתון הביטוי $\frac{2^{n+3}-2^{n+1}}{2^{n+2}+2^n}$ , כאשר $n$ הוא מספר טבעי.
גורם משותף בביטויים עם חזקות (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את הסעיפים בעזרת הוצאת גורם משותף.
חוקי חזקות עם מעריך שלם (שאלה קצרה · רמה א')
נתון הביטוי $\frac{2^{n+3}-2^{n+1}}{2^{n+2}+2^n}$ , כאשר $n$ הוא מספר טבעי.
חוקי חזקות עם מעריך שלם (שאלה קצרה · רמה א')
נתון הביטוי $\frac{5^{12}-5^{10}}{5^{11}+5^{10}}$ .
חזקות של בסיס שלילי: ביטוי שתלוי בזוגיות של n (שאלת ביניים · מצוינות)
לכל מספר טבעי $n$ מגדירים $E_n=\frac{(-3)^{n+2}+3^{n+1}}{3^{n}}$ .