מבחן לדוגמה: חזקה של מכפלה ושל מנה - כיתה ט'

כתבו את $(2\cdot 5)^3$ ככפל של שלושה גורמים שווים. סדרו מחדש את הגורמים לפי חוקי החילוף והקיבוץ, והראו ש-$(2\cdot 5)^3=2^3\cdot 5^3$. חשבו את שני האגפים ובדקו שהם שווים.

היעזרו באותה דרך והסבירו למה $(ab)^4=a^4\cdot b^4$ לכל שני מספרים $a$ ו-$b$.

כתבו באותה דרך את $\left(\frac{a}{b}\right)^3$ (כאשר $b\neq 0$) כמנה של שתי חזקות. השתמשו בתוצאה כדי לחשב בלי מחשבון את $\frac{15^3}{5^3}$, ובדקו בחישוב ישיר.

ריבוע שאורך צלעו $1$ מטר הוא גם ריבוע שאורך צלעו $100$ ס"מ. כמה סמ"ר יש במ"ר אחד? כתבו את החישוב בעזרת חזקה.

שלט ריבועי, אורך צלעו $60$ ס"מ. חשבו את שטחו בסמ"ר בעזרת חוק חזקה של מכפלה, כאשר $60=6\cdot 10$. כמה מ"ר זה?

כמה סמ"ק יש במטר מעוקב ($1$ מ"ק)? כתבו את $100^3$ כחזקה של $10$ בעזרת $100=10\cdot 10$. כמה ליטרים יש במ"ק?

אקווריום בצורת קובייה, אורך הצלע שלו $40$ ס"מ. חשבו את נפחו בסמ"ק בעזרת $40=4\cdot 10$. כמה ליטרים מים יש בו כשהוא מלא?

חלקה חקלאית בצורת ריבוע, אורך צלעה $0.3$ ק"מ, כלומר $300$ מטרים. חשבו את שטחה במ"ר בעזרת $300=3\cdot 100$. כמה דונמים זה?

(1) $(-3x)^4$ (2) $(2ab)^3\cdot a^2b$ (3) $\frac{(5x)^6\cdot x^3}{5^4\cdot x^7}$

(1) $\left(\frac{x}{3}\right)^4$ (2) $\left(\frac{2a}{b}\right)^3\cdot\frac{b^5}{4a}$ (3) $\left(\frac{x}{y}\right)^5\cdot\left(\frac{y}{2x}\right)^3$

פשטו את $A$.

פשטו את $B$, והראו ש-$A=B$ לכל $x\neq 0$.

מצאו את כל ערכי $x$ שעבורם $A+B=32$.

מצאו את $m$ ואת $n$ שעבורם $12^m=2^{10}\cdot 3^n$.

מצאו את $m$ שעבורו $\frac{18^m}{2^m}=3^8$.

כתבו את $36\cdot 121$ כריבוע של מספר טבעי, בלי לחשב קודם את המכפלה.

הסבירו למה המכפלה של שני ריבועים שלמים היא תמיד ריבוע שלם. האם המכפלה של שתי חזקות שלישיות שלמות היא תמיד חזקה שלישית שלמה? נמקו.

המספרים $12$ ו-$75$ אינם ריבועים שלמים. פרקו את שניהם לגורמים ראשוניים, והראו ש-$12\cdot 75$ הוא ריבוע שלם. מה מראה הדוגמה הזאת על הטענה: "אם המכפלה של שני מספרים טבעיים היא ריבוע שלם, אז כל אחד מהם הוא ריבוע שלם"?

מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר $k$ שעבורו $18\cdot k$ הוא ריבוע שלם, ואת המספר הטבעי הקטן ביותר $k$ שעבורו $18\cdot k$ הוא חזקה שלישית שלמה. נמקו בעזרת פירוק לגורמים ראשוניים.