מבחן לדוגמה: חזקה של חזקה - כיתה ט'

כתבו כל ביטוי כחזקה אחת:

(1) $5^4\cdot\left(5^3\right)^2$ (2) $\left(2^5\right)^3\cdot\left(2^2\right)^4$ (3) $\frac{\left(7^3\right)^5}{\left(7^2\right)^6}$

פשטו:

(1) $\frac{\left(x^4\right)^3\cdot\left(x^2\right)^5}{\left(x^3\right)^2}$ (2) $\frac{\left(x^3\right)^4\cdot\left(y^2\right)^5}{(xy)^2\cdot x^3y}$ (3) $\left(\frac{x^3}{y^2}\right)^4$

מה מופיע על הצג אחרי לחיצה אחת, אחרי שתי לחיצות ואחרי שלוש לחיצות? כתבו כל תוצאה כחזקה אחת של $5$. בתוצאה של שתי לחיצות ושל שלוש לחיצות כתבו קודם חזקה של חזקה.

מה קורה למעריך בכל לחיצה? כתבו כחזקה אחת של $5$ את המספר שיופיע על הצג אחרי $5$ לחיצות.

רון כתב על הצג $3$, לחץ פעם אחת על $x^3$ ואחר כך פעם אחת על $x^2$. מאיה כתבה על הצג $3$ ולחצה על אותם מקשים בסדר הפוך. כתבו את התוצאה של כל אחד מהם כחזקה של חזקה וכחזקה אחת של $3$. האם התוצאות שוות?

$8^4+8^4=2^n$

$4^k+4^k+4^k+4^k=2^{20}$

כמה שורות של אריחים יש בשלב $3$? כמה אריחים יש במפה בשלב $3$? כתבו את מספר האריחים כחזקה של חזקה וכחזקה אחת של $2$.

כתבו ביטוי למספר השורות בשלב $n$ ולמספר האריחים בשלב $n$. הראו שמספר האריחים בשלב $n$ הוא $4^n$.

תמר אומרת: "בשלב $20$ יש פי $2$ יותר אריחים מאשר בשלב $10$, כי $20=2\cdot 10$". האם היא צודקת? פי כמה גדול מספר האריחים בשלב $20$ ממספר האריחים בשלב $10$? כתבו את התשובה כחזקה של $2$.

באיזה שלב יש במפה $2^{30}$ אריחים? כמה שורות של אריחים יש בשלב הזה?

כתבו כל ביטוי כחזקה אחת של $3$, וסדרו את הביטויים מהקטן לגדול: $9^{2^3}$ ; $(3^4)^2$ ; $3^{4^2}$ ; $(9^2)^3$

$n$ הוא מספר טבעי ($1, 2, 3, \dots$). עבור אילו ערכים של $n$ מתקיים $(5^n)^2=5^{n^2}$? עבור אילו ערכים של $n$ הביטוי $(5^n)^2$ גדול מ-$5^{n^2}$?

מצאו מספר טבעי $k$ שעבורו $(8^k)^3=2^{3^4}$.

רשמו את כל הדרכים לכתוב את $2^{12}$ בצורה $(2^m)^k$. כתבו כל דרך גם כחזקה של מספר (למשל $(2^2)^6=4^6$). כמה דרכים יש?

הסבירו למה $(2^m)^k=2^N$ בדיוק כאשר $m\cdot k=N$, ולמה מספר הדרכים לכתוב את $2^N$ שווה למספר המחלקים של $N$.

מצאו את כל המספרים $N$ מ-$2$ עד $20$ שעבורם יש בדיוק שתי דרכים לכתוב את $2^N$. מה משותף למספרים האלה? הסבירו.

מצאו את כל המספרים $N$ מ-$2$ עד $30$ שעבורם יש בדיוק שלוש דרכים לכתוב את $2^N$. כתבו את שלוש הדרכים עבור הקטן מהם. מה משותף למספרים שמצאתם? הסבירו למה רק מספרים כאלה מתאימים.