שאלות פתוחות: חזקה של חזקה - כיתה ט'

שאלות פתוחות על חזקה של חזקה לכיתה ט', (aᵐ)ⁿ. מלבד תרגול החוק יש הבחנה בין 2 בחזקת 3² לבין (2³)², מציאת מעריך חסר, חישוב בלי לחשב את החזקות עד הסוף, ושאלה שבה בוחרים אילו ביטויים שווים ל-2¹⁰. השאלות מגיעות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו את מה שמתאים לבוחן או לדף עבודה, וקבלו את השאלות עם פתרונות מלאים בקובץ Word.

28 שאלותרמה א': 14רמה ב': 6מצוינות: 8

שאלה 1 · מעבר לבסיס משותףשאלה קצרה · רמה א'

פתרו בלי מחשבון.

א.

כתבו כל ביטוי כחזקה אחת של 222: 858^585 ; 163⋅4216^3\cdot 4^2163⋅42 ; 32483\dfrac{32^4}{8^3}83324​

ב.

כתבו כל ביטוי כחזקה אחת של 333: 95⋅2729^5\cdot 27^295⋅272 ; 81394\dfrac{81^3}{9^4}94813​

שאלה 2 · חזקה של חזקה: כתיבה כחזקה אחת והשלמת מעריךשאלה קצרה · רמה ב'

היעזרו בחוק החזקה של חזקה: (am)n=am⋅n(a^m)^n=a^{m\cdot n}(am)n=am⋅n.

א.

כתבו כל ביטוי כחזקה אחת: (73)5(7^3)^5(73)5 ; (a4)6(a^4)^6(a4)6 ; (y2)9(y^2)^9(y2)9

ב.

השלימו את המעריך החסר במקום הריבוע:
(1) (5□)3=521(5^{\square})^3=5^{21}(5□)3=521   (2) (m4)□=m36(m^4)^{\square}=m^{36}(m4)□=m36   (3) (3□)2=316(3^{\square})^2=3^{16}(3□)2=316

שאלה 3 · השוואת חזקות בעזרת חזקה קרובהשאלה קצרה · מצוינות

פתרו בלי מחשבון ובלי לחשב את החזקות עד הסוף.

א.

איזה מספר גדול יותר: 311131^{11}3111 או 171417^{14}1714? הסבירו.
(רמז: המספרים 313131 ו-171717 קרובים לחזקות של 222.)

ב.

איזה מספר גדול יותר: 5375^{37}537 או 12412124^{12}12412? הסבירו.

שאלה 4 · אותו מספר בבסיסים שוניםשאלה קצרה · רמה א'

נתון המספר 3203^{20}320.

א.

כתבו את 3203^{20}320 כחזקה של 999 וכחזקה של 818181.

ב.

האם אפשר לכתוב את 3203^{20}320 כחזקה של 272727 שהמעריך שלה מספר טבעי? נמקו.

שאלה 5 · מכפילים, מחברים או מעלים בחזקה את המעריכים?שאלה קצרה · רמה ב'

בביטוי 2322^{3^2}232 המעריך הוא 323^232, כלומר מחשבים קודם את 323^232.

א.

חשבו את הערך של כל אחד מהביטויים: (23)2(2^3)^2(23)2 ; 23⋅222^3\cdot 2^223⋅22 ; 2322^{3^2}232. האם יש ביניהם ביטויים שווים?

ב.

רון כתב (x5)2=x7(x^5)^2=x^7(x5)2=x7, ושירה כתבה (x5)2=x25(x^5)^2=x^{25}(x5)2=x25. מה נכון? כתבו את (x5)2(x^5)^2(x5)2 כמכפלה, והסבירו את הטעות של כל אחד מהם.

שאלה 6 · חזקה של חזקה מול חזקה במעריךשאלת ביניים · מצוינות

בביטוי abca^{b^c}abc המעריך הוא bcb^cbc, ולכן מחשבים קודם את bcb^cbc. לדוגמה, 523=585^{2^3}=5^8523=58.
בביטוי (ab)c(a^b)^c(ab)c מעלים את aba^bab בחזקת ccc.

א.

כתבו כל ביטוי כחזקה אחת של 333, וסדרו את הביטויים מהקטן לגדול: 9239^{2^3}923 ; (34)2(3^4)^2(34)2 ; 3423^{4^2}342 ; (92)3(9^2)^3(92)3

ב.

nnn הוא מספר טבעי (1,2,3,…1, 2, 3, \dots1,2,3,…). עבור אילו ערכים של nnn מתקיים (5n)2=5n2(5^n)^2=5^{n^2}(5n)2=5n2? עבור אילו ערכים של nnn הביטוי (5n)2(5^n)^2(5n)2 גדול מ-5n25^{n^2}5n2?

ג.

מצאו מספר טבעי kkk שעבורו (8k)3=234(8^k)^3=2^{3^4}(8k)3=234.

שאלה 7 · סכום של חזקות שוותשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מצאו את המעריך. המעריך הוא מספר טבעי.

א.

84+84=2n8^4+8^4=2^n84+84=2n

ב.

4k+4k+4k+4k=2204^k+4^k+4^k+4^k=2^{20}4k+4k+4k+4k=220

שאלה 8 · איזה מספר שווה ל- $2^{10}$ ?שאלה קצרה · רמה ב'

אילו מהמספרים הבאים שווים ל- 2102^{10}210?
א. 25⋅222^5\cdot 2^225⋅22   ב. 23⋅272^3\cdot 2^723⋅27   ג. (25)2(2^5)^2(25)2   ד. 220:222^{20}:2^2220:22   ה. (105)2\left(\frac{10}{5}\right)^2(510​)2   ו. (25)5(2^5)^5(25)5   ז. (−2)10(-2)^{10}(−2)10

ענו על השאלה.

שאלה 9 · שלושה מספרים בביטוי $(a^{b})^{c}$ שאלת ביניים · מצוינות

משבצים שלושה מספרים שונים במקומות של aaa, bbb ו-ccc בביטוי (ab)c(a^b)^c(ab)c, כל מספר פעם אחת. פתרו בלי מחשבון.

א.

משבצים את המספרים 222, 333, 444. רשמו את כל ששת הביטויים האפשריים, וכתבו כל אחד מהם כחזקה אחת של 222 או של 333.

ב.

הסבירו למה החלפת המקומות של bbb ו-ccc אינה משנה את ערך הביטוי. כמה ערכים שונים התקבלו בסעיף א? איזה מהם גדול יותר? נמקו בלי לחשב את החזקות עד הסוף.

ג.

משבצים את המספרים 222, 333, 555. כמה ערכים שונים מתקבלים? סדרו אותם מהקטן לגדול, ונמקו בלי לחשב את החזקות עד הסוף.

שאלה 10 · מעריכים חסרים במשוואות עם חזקות של $2$ שאלה קצרה · רמה א'

חזקות עם מעריך טבעי

א.

מה הערך של nnn במשוואה 420+420=2n4^{20}+4^{20}=2^n420+420=2n

ב.

הציעו אפשרויות שונות לערכים של mmm ו- kkk (מספרים טבעיים) במשוואה 2m⋅2k=1,0242^m\cdot 2^k = 1{,}0242m⋅2k=1,024

עוד 17 שאלות על חזקה של חזקה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

לחיצות חוזרות על מקש הריבוע (שאלת ביניים · רמה ב')
במחשבון יש מקש $x^2$ , שמעלה בריבוע את המספר שעל הצג, ומקש $x^3$ , שמעלה את המספר שעל הצג בחזקת $3$ . נועה כתבה על הצג את המספר $5$ , ולחצה כמה…
ריבוע קסם של מכפלות (שאלת ביניים · מצוינות)
סידור שלוש חזקות גדולות (שאלה קצרה · רמה א')
סדרו את המספרים הבאים בסדר עולה (היעזרו בחוקי חזקות):
אריזת עפרונות במפעל (שאלה מלאה · רמה ב')
במפעל עפרונות אורזים $16$ עפרונות בכל קופסה, $16$ קופסאות בכל ארגז, ו- $16$ ארגזים על כל משטח.
בכמה דרכים אפשר לכתוב חזקה של $2$ ? (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה זו כותבים חזקה של $2$ בצורה $(2^m)^k$ , כאשר $m$ ו- $k$ מספרים טבעיים ( $1, 2, 3, \dots$ ). כל זוג שונה של $m$ ו- $k$ נחשב דרך אחרת. למשל,…
ארבעה מספרים, בסיס אחד (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים ארבעה מספרים: $A=8^9$ , $B=4^{13}$ , $C=16^7$ , $D=32^5$ . פתרו בלי מחשבון.
חזקה של חזקה בתוך מכפלות ומנות (שאלה קצרה · רמה ב')
היעזרו בחוקי החזקות. בכל הסעיפים $x\neq 0$ ו- $y\neq 0$ .
נוסחאות הכפל המקוצר עם מעריך כללי (שאלה קצרה · מצוינות)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי. פתחו את הסוגריים ופשטו. היעזרו בנוסחאות הכפל המקוצר ובחוק $(a^n)^k=a^{nk}$ .
פישוט שני ביטויים והשוואה ביניהם (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים הביטויים $A=\dfrac{(x^4)^5\cdot x^2}{(x^3)^6}$ ו- $B=\dfrac{(2x^3)^4}{(4x^4)^2}$ , כאשר $x\neq 0$ .
ערכים של חזקות בלי לדעת את הבסיס (שאלה קצרה · מצוינות)
$a$ הוא מספר חיובי, ו- $u$ , $v$ הם מספרים טבעיים, $u>v$ . ידוע ש- $a^u=32$ ו- $a^v=2$ .
אריחים במפה דיגיטלית (שאלה מלאה · רמה א')
באפליקציית מפות, מפת העולם בנויה מאריחים: תמונות קטנות בצורת ריבוע. בשלב התקריב הראשון המפה מחולקת ל- $2$ שורות ול- $2$ טורים של אריחים. בכל…
משוואות עם חזקות: מעבר לבסיס משותף (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל משוואה $n$ הוא מספר שלם, והמעריכים הם מספרים טבעיים או אפס. כתבו את שני האגפים כחזקות של אותו בסיס, ומצאו את כל הפתרונות.
איזה ביטוי גדול יותר? (שאלה מלאה · רמה א')
קבעו בכל אחד מהסעיפים הבאים איזה ביטוי גדול יותר? הסבירו את תשובתכם.
הגרפים של $y = 2^{n}$ ו- $y = 4^{n}$ (שאלה מלאה · רמה א')
לפניכם הגרפים של הפונקציות $y = 2^n$ ו- $y = 4^n$ ( $n$ מספר טבעי).
חזקות שהמעריכים שלהן ביטויים (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי ( $n=1, 2, 3, \ldots$ ), ו- $a\neq0$ .
אילו מעריכים מתאימים לתחום? (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו $n$ הוא מספר שלם שאינו שלילי ( $n=0, 1, 2, \ldots$ ).
פירוק הבסיסים לגורמים ראשוניים (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף כתבו את הביטוי כמכפלה או כמנה של חזקות של מספרים ראשוניים, ואחר כך חשבו את ערכו. פתרו בלי מחשבון.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

השוואת חזקות בלי מחשבון (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים שלושה מספרים: $27^{10}$ , $\ 2^{60}$ , $\ 9^{20}$ . בסעיפים הבאים אין להשתמש במחשבון.