מבחן לדוגמה: סרטוט סקיצה של גרף לפי תכונות נתונות - כיתה ט'

מבחן במתמטיקה - כיתה ט'

סרטוט סקיצה של גרף לפי תכונות נתונות

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · איזה גרף מתאים לרשימת התכונות?שאלה קצרה · רמה ב'

לפונקציה fff יש התכונות הבאות:
- fff מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע.
•נקודות האפס של fff הן x=−4x=-4x=−4 ו-x=2x=2x=2 בלבד.
•ל-fff יש נקודת קיצון אחת בלבד: נקודת מינימום (0,−4)(0,-4)(0,−4).
לפניכם שלושה גרפים. כל משבצת ברשת היא יחידה אחת בציר ה-xxx ושתי יחידות בציר ה-yyy.
גרף 1-7-6-5-4-3-2-112345-10-8-6-4-2246
גרף 2-7-6-5-4-3-2-112345-10-8-6-4-2246
גרף 3-7-6-5-4-3-2-112345-10-8-6-4-2246

א.

איזה מהגרפים מתאים לכל התכונות של fff? לכל אחד משני הגרפים האחרים, כתבו תכונה מהרשימה שהוא אינו מקיים.

ב.

האם יש פונקציה ריבועית שמקיימת את כל התכונות של fff? נמקו.

שאלה 2 · מעלית בין החניון לקומות העליונותשאלת ביניים · רמה ב'

מעלית בבניין משרדים נוסעת בין קומות החניון, שנמצאות מתחת לקומת הכניסה, לבין הקומות העליונות. h(t)h(t)h(t) הוא הגובה של רצפת המעלית ביחס לרצפת קומת הכניסה (במטרים), ttt שניות מתחילת התצפית, בזמנים 0≤t≤600\le t\le 600≤t≤60. גובה חיובי פירושו מעל קומת הכניסה, וגובה שלילי פירושו מתחתיה. הגרף של hhh הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים.
ידוע:
•בתחילת התצפית (t=0t=0t=0) המעלית הייתה בגובה 999 מטרים.
•מ-t=0t=0t=0 עד t=20t=20t=20 המעלית ירדה, וב-t=20t=20t=20 הגיעה לגובה −6-6−6 מטרים.
•מ-t=20t=20t=20 עד t=50t=50t=50 המעלית עלתה, וב-t=50t=50t=50 הגיעה לגובה 121212 מטרים.
•מ-t=50t=50t=50 עד t=60t=60t=60 המעלית ירדה, וב-t=60t=60t=60 הייתה בגובה 666 מטרים.

א.

סרטטו סקיצה של הגרף של hhh, וסמנו בה את הנקודות הידועות. כתבו את נקודות הקיצון של hhh שבתוך התחום (לא בקצוות), וקבעו את הסוג של כל אחת.

ב.

כמה פעמים בזמן התצפית עברה המעלית בגובה של קומת הכניסה, כלומר h(t)=0h(t)=0h(t)=0? בין אילו זמנים? נמקו בעזרת הסקיצה.

ג.

המעלית עברה בגובה של קומת הכניסה ב-t=8t=8t=8 וב-t=32t=32t=32. כתבו את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של hhh, והסבירו מה המשמעות של כל תחום.

שאלה 3 · מתחומי עלייה וסימן לנקודות ולסקיצהשאלת ביניים · רמה א'

על הפונקציה fff ידוע:
•הפונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים.
- fff יורדת עבור x<−3x<-3x<−3 ועבור x>2x>2x>2, ועולה עבור −3<x<2-3<x<2−3<x<2.
- fff חיובית עבור x<−5x<-5x<−5 ועבור −1<x<4-1<x<4−1<x<4, ושלילית עבור −5<x<−1-5<x<-1−5<x<−1 ועבור x>4x>4x>4.

א.

מצאו את נקודות האפס של fff ואת שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון שלה. קבעו את הסוג של כל נקודת קיצון, והאם ערך הפונקציה בה חיובי או שלילי. נמקו.

ב.

נתון בנוסף ש-f(0)=3f(0)=3f(0)=3. מה גדול יותר: f(2)f(2)f(2) או f(0)f(0)f(0)? ומה גדול יותר: f(−4)f(-4)f(−4) או f(−3)f(-3)f(−3)? נמקו בעזרת סעיף א.

ג.

סרטטו סקיצה של fff שמתאימה לכל הנתונים. סמנו בה את נקודות האפס, את הנקודה (0,3)(0,3)(0,3) ואת נקודות הקיצון.

שאלה 4 · ארבע רשימות תכונות: אפשרי, סותר, ואולי פרבולהשאלה מלאה · רמה א'

בכל שורה בטבלה נתונות תכונות של פונקציה אחרת. כל פונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים. בכל שורה מופיעות כל נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים וכל נקודות הקיצון של הפונקציה.
שורהחיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
1(−1,0)(-1,0)(−1,0), (3,0)(3,0)(3,0)(0,3)(0,3)(0,3)אין(1,4)(1,4)(1,4)
2(6,0)(6,0)(6,0)(0,−2)(0,-2)(0,−2)אין(3,4)(3,4)(3,4)
3(−5,0)(-5,0)(−5,0), (1,0)(1,0)(1,0)(0,−6)(0,-6)(0,−6)(−2,−9)(-2,-9)(−2,−9)אין
4(4,0)(4,0)(4,0)(0,2)(0,2)(0,2)אין(2,3)(2,3)(2,3)

שורה	חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
1	$(-1,0)$ , $(3,0)$	$(0,3)$	אין	$(1,4)$
2	$(6,0)$	$(0,-2)$	אין	$(3,4)$
3	$(-5,0)$ , $(1,0)$	$(0,-6)$	$(-2,-9)$	אין
4	$(4,0)$	$(0,2)$	אין	$(2,3)$

א.

באחת השורות התכונות לא יכולות להתקיים יחד. איזו שורה? הסבירו מהי הסתירה.

ב.

לכל אחת משלוש השורות האחרות כתבו את תחומי העלייה והירידה ואת תחומי החיוביות והשליליות, וסרטטו סקיצה מתאימה.

ג.

באחת השורות הפונקציה יכולה להיות פונקציה ריבועית. איזו? מצאו את הביטוי שלה.

ד.

הסבירו מדוע הפונקציות בשורות 3 ו-4 לא יכולות להיות ריבועיות. באחת מהשורות האלה מספיק לשנות רק את נקודת החיתוך עם ציר ה-yyy כדי שתתאים לה פרבולה. איזו שורה, ומה צריכה להיות נקודת החיתוך החדשה? כתבו את הביטוי של הפרבולה.

שאלה 5 · סקיצה לפי תכונות: מינימום בלי חיתוך עם ציר $x$ שאלה קצרה · מצוינות

שרטוט גרף של פונקציה על פי נתונים

שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה על פי הנתונים בטבלה. הגרף רציף, מוגדר לכל xxx וכל נקודות החיתוך ונקודות הקיצון נתונות.
חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
אין(0,−2)(0,-2)(0,−2)(0,−2)(0,-2)(0,−2)אין
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
אין	$(0,-2)$	$(0,-2)$	אין

שאלה 6 · חקר: נקודות אפס ונקודות קיצוןשאלה מלאה · מצוינות

בשאלה זו כל פונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים. נחקור את הקשר בין מספר נקודות האפס של פונקציה לבין מספר נקודות הקיצון שלה.

א.

לפונקציה fff יש בדיוק שלוש נקודות אפס: x=−3x=-3x=−3, x=1x=1x=1, x=4x=4x=4. ידוע ש-fff חיובית עבור −3<x<1-3<x<1−3<x<1 ושלילית עבור 1<x<41<x<41<x<4. הסבירו מדוע ל-fff יש לפחות נקודת קיצון אחת בין −3-3−3 ל-111 ולפחות נקודת קיצון אחת בין 111 ל-444, וקבעו את הסוג של כל אחת מהן.

ב.

סרטטו סקיצה של פונקציה שמקיימת את כל הנתונים של סעיף א, ויש לה בדיוק ארבע נקודות קיצון.

ג.

לפונקציה ggg יש בדיוק שתי נקודות קיצון. הסבירו מדוע ל-ggg יש לכל היותר שלוש נקודות אפס.

ד.

לפונקציה ppp יש בדיוק שתי נקודות קיצון: נקודת מקסימום (1,2)(1,2)(1,2) ונקודת מינימום (5,−4)(5,-4)(5,−4). כמה נקודות אפס יכולות להיות ל-ppp? מצאו את כל האפשרויות, ולכל אפשרות סרטטו סקיצה.

ה.

לפונקציה qqq יש בדיוק שתי נקודות קיצון: נקודת מקסימום (1,−1)(1,-1)(1,−1) ונקודת מינימום (5,−4)(5,-4)(5,−4). כמה נקודות אפס יכולות להיות ל-qqq? נמקו.

שאלה 1 · איזה גרף מתאים לרשימת התכונות?שאלה קצרה · רמה ב'

שאלה 2 · מעלית בין החניון לקומות העליונותשאלת ביניים · רמה ב'

שאלה 3 · מתחומי עלייה וסימן לנקודות ולסקיצהשאלת ביניים · רמה א'

שאלה 4 · ארבע רשימות תכונות: אפשרי, סותר, ואולי פרבולהשאלה מלאה · רמה א'

שאלה 5 · סקיצה לפי תכונות: מינימום בלי חיתוך עם ציר xשאלה קצרה · מצוינות

שאלה 6 · חקר: נקודות אפס ונקודות קיצוןשאלה מלאה · מצוינות

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 5 · סקיצה לפי תכונות: מינימום בלי חיתוך עם ציר $x$ שאלה קצרה · מצוינות