שאלות פתוחות: סרטוט סקיצה של גרף לפי תכונות נתונות - כיתה ט'

סרטוט סקיצה של גרף לפי תכונות נתונות, שאלות פתוחות לכיתה ט'. נתונות נקודות אפס, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה, ולפיהן משרטטים גרף אפשרי של פונקציה רציפה. בחלק מהשאלות התכונות מופיעות בטבלה, ובחלק צריך להחליט אם בכלל ייתכן שלפונקציה יש את התכונות שתוארו ולנמק. השאלות בנויות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. אפשר להכין מהן דף עבודה או מבחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וקובץ Word להדפסה.

20 שאלותרמה א': 9רמה ב': 6מצוינות: 5

שאלה 1 · האם התכונות האלה יכולות להתקיים יחד?שאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מתוארת פונקציה. הפונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים.
קבעו אם ייתכן שלפונקציה יש את כל התכונות שבסעיף. אם כן — סרטטו סקיצה מתאימה. אם לא — הסבירו מהי הסתירה.

א.

הפונקציה fff חיובית עבור −2<x<4-2<x<4−2<x<4, ושלילית עבור x<−2x<-2x<−2 ועבור x>4x>4x>4. ל-fff יש בדיוק שתי נקודות קיצון: נקודת מקסימום (1,5)(1,5)(1,5) ונקודת מינימום (3,2)(3,2)(3,2).

ב.

לפונקציה ggg יש בדיוק שלוש נקודות קיצון: נקודת מינימום (−3,−2)(-3,-2)(−3,−2), נקודת מקסימום (0,4)(0,4)(0,4) ונקודת מינימום (3,1)(3,1)(3,1). ל-ggg יש בדיוק שתי נקודות אפס.

שאלה 2 · מטבלת תכונות לסקיצה: ישר ו"גבעה"שאלה קצרה · רמה ב'

בכל סעיף נתונות בטבלה תכונות של פונקציה. כל פונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים. בטבלה מופיעות כל נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים וכל נקודות הקיצון של הפונקציה.

א.

הפונקציה fff:
חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
(3,0)(3,0)(3,0)(0,−6)(0,-6)(0,−6)איןאין
האם fff עולה או יורדת? כתבו את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של fff, וסרטטו סקיצה מתאימה של הגרף.

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
$(3,0)$	$(0,-6)$	אין	אין

ב.

הפונקציה ggg:
חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
(−6,0)(-6,0)(−6,0), (2,0)(2,0)(2,0)(0,6)(0,6)(0,6)אין(−2,8)(-2,8)(−2,8)
כתבו את תחומי העלייה והירידה ואת תחומי החיוביות והשליליות של ggg, וסרטטו סקיצה מתאימה של הגרף.

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
$(-6,0)$ , $(2,0)$	$(0,6)$	אין	$(-2,8)$

שאלה 3 · שתי נקודות אפס שהגרף לא חוצה בהןשאלה קצרה · מצוינות

הפונקציה fff מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים. ל-fff יש בדיוק שתי נקודות אפס, x=−2x=-2x=−2 ו-x=3x=3x=3, ולכל xxx אחר מתקיים f(x)>0f(x)>0f(x)>0.

א.

מהו המספר הקטן ביותר של נקודות קיצון שיכולות להיות ל-fff? הסבירו מדוע אי אפשר פחות, וסרטטו סקיצה של פונקציה כזאת עם המספר הזה של נקודות קיצון.

ב.

רוני טוענת: "הערך הגדול ביותר של fff מתקבל בנקודה שבין x=−2x=-2x=−2 ל-x=3x=3x=3." האם הטענה נכונה בהכרח? נמקו.

שאלה 4 · מה התכונות מבטיחות: נקודות אפס וערכיםשאלה קצרה · רמה א'

על הפונקציה fff ידוע:
•הפונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים.
- fff עולה עבור x<−1x<-1x<−1 ועבור x>3x>3x>3, ויורדת עבור −1<x<3-1<x<3−1<x<3.
- f(−4)=−5f(-4)=-5f(−4)=−5, f(−1)=2f(-1)=2f(−1)=2, f(3)=−6f(3)=-6f(3)=−6, f(6)=4f(6)=4f(6)=4.

א.

כמה נקודות אפס יש ל-fff? לכל נקודת אפס כתבו בין אילו שניים מהמספרים −4-4−4, −1-1−1, 333, 666 היא נמצאת. נמקו.

ב.

האם ייתכן ש-f(0)=3f(0)=3f(0)=3? האם ייתכן ש-f(−6)=−7f(-6)=-7f(−6)=−7? נמקו כל תשובה.

שאלה 5 · איזה גרף מתאים לרשימת התכונות?שאלה קצרה · רמה ב'

לפונקציה fff יש התכונות הבאות:
- fff מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע.
•נקודות האפס של fff הן x=−4x=-4x=−4 ו-x=2x=2x=2 בלבד.
•ל-fff יש נקודת קיצון אחת בלבד: נקודת מינימום (0,−4)(0,-4)(0,−4).
לפניכם שלושה גרפים. כל משבצת ברשת היא יחידה אחת בציר ה-xxx ושתי יחידות בציר ה-yyy.
גרף 1-7-6-5-4-3-2-112345-10-8-6-4-2246
גרף 2-7-6-5-4-3-2-112345-10-8-6-4-2246
גרף 3-7-6-5-4-3-2-112345-10-8-6-4-2246

א.

איזה מהגרפים מתאים לכל התכונות של fff? לכל אחד משני הגרפים האחרים, כתבו תכונה מהרשימה שהוא אינו מקיים.

ב.

האם יש פונקציה ריבועית שמקיימת את כל התכונות של fff? נמקו.

שאלה 6 · סקיצה לפי תכונות: מינימום בלי חיתוך עם ציר $x$ שאלה קצרה · מצוינות

שרטוט גרף של פונקציה על פי נתונים

שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה על פי הנתונים בטבלה. הגרף רציף, מוגדר לכל xxx וכל נקודות החיתוך ונקודות הקיצון נתונות.
חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
אין(0,−2)(0,-2)(0,−2)(0,−2)(0,-2)(0,−2)אין
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
אין	$(0,-2)$	$(0,-2)$	אין

שאלה 7 · סקיצות לפי טבלת תכונות: מקסימום, ומקסימום עם מינימוםשאלה קצרה · רמה א'

בכל שורה בטבלה נתונות תכונות של פונקציה אחת. כל אחת מהפונקציות מוגדרת לכל xxx ורציפה. (נתונות כל נקודות החיתוך עם הצירים וכל נקודות הקיצון).
שרטטו סקיצות אפשריות לגרפים של הפונקציות.

א.

חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
(3,0)(3,0)(3,0), (1,0)(1,0)(1,0)(0,−3)(0,-3)(0,−3)אין(2,1)(2,1)(2,1)

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
$(3,0)$ , $(1,0)$	$(0,-3)$	אין	$(2,1)$

ב.

חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
(6,0)(6,0)(6,0), (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(4,−4)(4,-4)(4,−4)(0,0)(0,0)(0,0)

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
$(6,0)$ , $(0,0)$	$(0,0)$	$(4,-4)$	$(0,0)$

שאלה 8 · סקיצה לפי טבלת תכונות: בלי קיצון ועם מקסימום אחדשאלה קצרה · רמה ב'

שרטוט גרף של פונקציה על פי נתונים

א.

שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה על פי הנתונים בטבלה. הגרף רציף, מוגדר לכל xxx וכל נקודות החיתוך ונקודות הקיצון נתונות.
חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
(−2,0)(-2,0)(−2,0)(0,4)(0,4)(0,4)איןאין
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-11234567

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
$(-2,0)$	$(0,4)$	אין	אין

ב.

שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה על פי הנתונים בטבלה. הגרף רציף, מוגדר לכל xxx וכל נקודות החיתוך ונקודות הקיצון נתונות.
חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
(−2,0)(-2,0)(−2,0), (4,0)(4,0)(4,0)(0,8)(0,8)(0,8)אין(1,9)(1,9)(1,9)
לצורך שרטוט הסקיצה סמנו במערכת הצירים את הנקודות הנתונות.
-6-5-4-3-2-112345678-4-3-2-11234567891011‫נקודת מקסימום‬

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
$(-2,0)$ , $(4,0)$	$(0,8)$	אין	$(1,9)$

שאלה 9 · סקיצות לפי טבלת תכונות: גרף בלי אפסים וגרף עם שלושה אפסיםשאלה קצרה · מצוינות

בכל שורה בטבלה נתונות תכונות של פונקציה אחת. כל אחת מהפונקציות מוגדרת לכל xxx ורציפה. (נתונות כל נקודות החיתוך עם הצירים וכל נקודות הקיצון).
שרטטו סקיצות אפשריות לגרפים של הפונקציות.

א.

חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
אין(0,0.5)(0,0.5)(0,0.5)אין(1,1)(1,1)(1,1)

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
אין	$(0,0.5)$	אין	$(1,1)$

ב.

חיתוך עם ציר xxxחיתוך עם ציר yyyמינימוםמקסימום
(−3,0)(-3,0)(−3,0), (0,0)(0,0)(0,0), (3,0)(3,0)(3,0)(0,0)(0,0)(0,0)(1,−5)(1,-5)(1,−5)(−1,5)(-1,5)(−1,5)

חיתוך עם ציר $x$	חיתוך עם ציר $y$	מינימום	מקסימום
$(-3,0)$ , $(0,0)$ , $(3,0)$	$(0,0)$	$(1,-5)$	$(-1,5)$

שאלה 10 · מתחומי עלייה וסימן לנקודות ולסקיצהשאלת ביניים · רמה א'

על הפונקציה fff ידוע:
•הפונקציה מוגדרת לכל xxx, והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים.
- fff יורדת עבור x<−3x<-3x<−3 ועבור x>2x>2x>2, ועולה עבור −3<x<2-3<x<2−3<x<2.
- fff חיובית עבור x<−5x<-5x<−5 ועבור −1<x<4-1<x<4−1<x<4, ושלילית עבור −5<x<−1-5<x<-1−5<x<−1 ועבור x>4x>4x>4.

א.

מצאו את נקודות האפס של fff ואת שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון שלה. קבעו את הסוג של כל נקודת קיצון, והאם ערך הפונקציה בה חיובי או שלילי. נמקו.

ב.

נתון בנוסף ש-f(0)=3f(0)=3f(0)=3. מה גדול יותר: f(2)f(2)f(2) או f(0)f(0)f(0)? ומה גדול יותר: f(−4)f(-4)f(−4) או f(−3)f(-3)f(−3)? נמקו בעזרת סעיף א.

ג.

סרטטו סקיצה של fff שמתאימה לכל הנתונים. סמנו בה את נקודות האפס, את הנקודה (0,3)(0,3)(0,3) ואת נקודות הקיצון.

עוד 8 שאלות על סרטוט סקיצה של גרף לפי תכונות נתונות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סקיצות לפי טבלת תכונות: פונקציות בלי נקודות קיצון (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל שורה בטבלה נתונות תכונות של פונקציה אחת. כל אחת מהפונקציות מוגדרת לכל $x$ ורציפה. (נתונות כל נקודות החיתוך עם הצירים וכל נקודות הקיצון).…
מקסימום בגובה לא ידוע: מתי התכונות אפשריות (שאלת ביניים · מצוינות)
הפונקציה $f$ מוגדרת לכל $x$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים. ל- $f$ יש נקודת קיצון אחת בלבד: נקודת מקסימום $(1,k)$ .…
בדיקת סקיצה של תלמיד מול טבלת תכונות (שאלת ביניים · רמה א')
בטבלה מופיעות כל נקודות החיתוך של הגרף של הפונקציה $f$ עם הצירים וכל נקודות הקיצון של $f$ . הפונקציה מוגדרת לכל $x$ , והגרף שלה הוא קו אחד…
מעלית בין החניון לקומות העליונות (שאלת ביניים · רמה ב')
מעלית בבניין משרדים נוסעת בין קומות החניון, שנמצאות מתחת לקומת הכניסה, לבין הקומות העליונות. $h(t)$ הוא הגובה של רצפת המעלית ביחס לרצפת קומת…
חקר: נקודות אפס ונקודות קיצון (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה זו כל פונקציה מוגדרת לכל $x$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים. נחקור את הקשר בין מספר נקודות האפס של פונקציה…
טבלת ערכים ונקודת קיצון אחת: מה אפשר להסיק (שאלת ביניים · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת לכל $x$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים. ל- $f$ יש נקודת קיצון אחת בלבד. לפניכם כמה ערכים של $f$ :
מפלס המים במאגר וקו האזהרה (שאלה מלאה · רמה ב')
במאגר מים חקלאי בעמק יזרעאל המים נאספים בחורף ומשמשים להשקיה בקיץ. על דופן המאגר צבוע קו אזהרה. $L(t)$ הוא הגובה של פני המים מעל קו האזהרה…
ארבע רשימות תכונות: אפשרי, סותר, ואולי פרבולה (שאלה מלאה · רמה א')
בכל שורה בטבלה נתונות תכונות של פונקציה אחרת. כל פונקציה מוגדרת לכל $x$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע ואין בו קטעים אופקיים. בכל שורה…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

גרף לפי תיאור: עולה, קבועה, יורדת (שאלת ביניים · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 8$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע. ידוע: $f$ עולה בתחום…
מה טבלה מבטיחה ומה לא (שאלה מלאה · רמה א')
הפונקציה $f$ מוגדרת בתחום $0\le x\le 6$ , והגרף שלה הוא קו אחד שאינו נקטע. ידועים רק הערכים שבטבלה: