מבחן לדוגמה: מקבילית: משפטי זיהוי - כיתה ט'

הסבירו למה המרובע $ABDC$ הוא מקבילית. באיזה משפט זיהוי השתמשתם?

נתון: $AB=7$ ס"מ, $AC=10$ ס"מ. חשבו את היקף המקבילית $ABDC$.

נתון גם: $\angle BAC=48^\circ$. חשבו את $\angle ABD$ ואת $\angle BDC$. נמקו.

הסבירו למה בכל מצב של המגש המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. כתבו את משפט הזיהוי שהשתמשתם בו.

הסבירו למה הדופן $BC$ של המגש נשארת אנכית בכל מצב. למה זה חשוב למי שמשתמש בארגז?

במצב אחר (לא המצב שבסרטוט) $\angle DAB=50^\circ$. חשבו את שאר הזוויות של המרובע $ABCD$. נמקו.

במצב שבסרטוט הציר $B$ נמצא במרחק אופקי של $20$ ס"מ מהדופן $AD$.

1. בכמה ס"מ הציר $B$ גבוה מהציר $A$?

2. בכמה ס"מ הציר $C$ גבוה מהציר $A$, ומה המרחק האופקי שלו מהדופן $AD$? נמקו.

בארגז אחר הזרועות אינן שוות: $AB=25$ ס"מ, $DC=27$ ס"מ, ושוב $AD=BC=12$ ס"מ.

האם במנגנון הזה המרובע $ABCD$ יכול להיות מקבילית? נמקו. האם אפשר להשתמש בנימוק של סעיף ב כדי להבטיח שדופן המגש תישאר אנכית?

הוכיחו את משפט הזיהוי: מרובע $ABCD$ שבו $\angle A=\angle C$ ו-$\angle B=\angle D$ הוא מקבילית.

הדרכה: סמנו $\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$, והשתמשו בסכום הזוויות במרובע. כתבו טענה ונימוק בכל שלב.

במרובע $PQRS$ נתון (במעלות): $\angle P=4x+6$, $\angle R=6x-24$. נתון גם: $\angle P=\angle R$ ו-$\angle Q=\angle S$.

מצאו את $x$ ואת כל זוויות המרובע. הסבירו למה $PQRS$ מקבילית, וכתבו אילו צלעות שלו מקבילות.

הוכיחו שהמרובע $ABCE$ הוא מקבילית, והיעזרו בכך כדי להוכיח ש-$\angle ADC=\angle BCD$.

הוכיחו ש-$AD=BC$, כלומר שהטרפז שווה שוקיים.

הדרכה: העבירו דרך $B$ ישר המקביל לאלכסון $AC$, וסמנו ב-$E$ את נקודת החיתוך שלו עם המשך הבסיס $DC$.

הוכיחו ששטח הטרפז $ABCD$ שווה לשטח המשולש $DBE$.

נתון: $AB=8$ ס"מ, $DC=16$ ס"מ, $AC=BD=13$ ס"מ. חשבו את גובה הטרפז ואת שטחו.

נתון בנוסף: $AB\parallel DC$. הוכיחו ש-$ABCD$ מקבילית.

במקום הנתון של סעיף א נתון: $\angle ABD=\angle CDB$. הוכיחו שגם במקרה הזה $ABCD$ מקבילית.

עכשיו בודקים את הנתון $AB=CD$. במערכת הצירים שלפניכם המרובע $ABCD$: $A(1,1)$, $B(3,4)$, $C(9,3)$, $D(6,1)$. האלכסונים שלו נחתכים בנקודה $O(5,2)$. כל משבצת היא יחידת אורך אחת.

1. הראו בעזרת המשבצות ש-$O$ היא אמצע האלכסון $AC$.

2. הראו בעזרת משפט פיתגורס ש-$AB=CD$.

3. הראו ש-$ABCD$ אינו מקבילית. מה אפשר להסיק על הנתון $AB=CD$?

עכשיו בודקים את הנתון: שטח $\triangle ABD$ שווה לשטח $\triangle CBD$.

1. חשבו את שני השטחים במרובע של סעיף ג.

2. הוכיחו שבכל מרובע $ABCD$ שבו האלכסונים נחתכים ב-$O$ ו-$AO=OC$, שטח $\triangle ABD$ שווה לשטח $\triangle CBD$.

3. האם הנתונים $AO=OC$ ו"שטח $\triangle ABD$ שווה לשטח $\triangle CBD$" מבטיחים ש-$ABCD$ מקבילית? נמקו.