שאלות פתוחות: מקבילית: משפטי זיהוי - כיתה ט'

כתבו את המשפט ואת המשפט ההפוך שלו על המרובע $ABCD$, כל אחד בצורה "נתון: ... צריך להוכיח: ...".

איזה מהשניים הוא משפט זיהוי של מקבילית? הסבירו.

הוכיחו את המשפט ההפוך: מרובע $ABCD$ שבו $AB=DC$ ו-$AD=BC$ הוא מקבילית.

הדרכה: העבירו את האלכסון $AC$.

במרובע $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$. האורכים בס"מ: $AO=x+5$, $OC=2x-3$, $BO=x+2$, $OD=10$.

מצאו את $x$ שבעבורו $AO=OC$. האם בערך הזה של $x$ המרובע $ABCD$ הוא מקבילית? נמקו, וחשבו את אורכי האלכסונים.

במרובע $PQRS$ נתון: $\angle P=68^\circ$, $\angle Q=112^\circ$, $\angle S=112^\circ$, $PQ=9$ ס"מ, $QR=5$ ס"מ.

חשבו את $\angle R$, הסבירו למה $PQRS$ מקבילית, וחשבו את היקף המרובע.

דנה אומרת: "לכן $ABCD$ בהכרח מקבילית".

הראו שדנה טועה: תנו דוגמה למרובע כזה שאינו מקבילית (תארו אותו וכתבו אורכי צלעות), והסבירו למה הוא מתאים.

נתון בנוסף שבמרובע $ABCD$ אין שתי צלעות סמוכות שוות זו לזו. הוכיחו שבמקרה הזה $ABCD$ מקבילית.

הוכיחו שהמרובע $ABCE$ הוא מקבילית, והיעזרו בכך כדי להוכיח ש-$\angle ADC=\angle BCD$.

הסבירו למה המרובע $ABDC$ הוא מקבילית. באיזה משפט זיהוי השתמשתם?

נתון: $AB=7$ ס"מ, $AC=10$ ס"מ. חשבו את היקף המקבילית $ABDC$.

נתון גם: $\angle BAC=48^\circ$. חשבו את $\angle ABD$ ואת $\angle BDC$. נמקו.

הוכיחו ש-$AD=BC$, כלומר שהטרפז שווה שוקיים.

הדרכה: העבירו דרך $B$ ישר המקביל לאלכסון $AC$, וסמנו ב-$E$ את נקודת החיתוך שלו עם המשך הבסיס $DC$.

הוכיחו ששטח הטרפז $ABCD$ שווה לשטח המשולש $DBE$.

נתון: $AB=8$ ס"מ, $DC=16$ ס"מ, $AC=BD=13$ ס"מ. חשבו את גובה הטרפז ואת שטחו.

הסבירו למה האלכסון $BD$ עובר דרך $O$ ו-$O$ היא אמצע $BD$, ולמה גם $EF$ עובר דרך $O$ ו-$O$ היא אמצע $EF$.

הוכיחו שהמרובע $BEDF$ הוא מקבילית.

בסעיף א ובסעיף ב השתמשתם במשפט "במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה" ובמשפט ההפוך שלו. באיזה מהם השתמשתם בכל סעיף?

נתון: $BE=5$ ס"מ, $BF=8$ ס"מ, $\angle EBF=\alpha$. חשבו את היקף המרובע $BEDF$, והביעו באמצעות $\alpha$ את $\angle EDF$ ואת $\angle BED$.

הסבירו למה בכל מצב של המגש המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. כתבו את משפט הזיהוי שהשתמשתם בו.

הסבירו למה הדופן $BC$ של המגש נשארת אנכית בכל מצב. למה זה חשוב למי שמשתמש בארגז?

במצב אחר (לא המצב שבסרטוט) $\angle DAB=50^\circ$. חשבו את שאר הזוויות של המרובע $ABCD$. נמקו.

במצב שבסרטוט הציר $B$ נמצא במרחק אופקי של $20$ ס"מ מהדופן $AD$.

1. בכמה ס"מ הציר $B$ גבוה מהציר $A$?

2. בכמה ס"מ הציר $C$ גבוה מהציר $A$, ומה המרחק האופקי שלו מהדופן $AD$? נמקו.

בארגז אחר הזרועות אינן שוות: $AB=25$ ס"מ, $DC=27$ ס"מ, ושוב $AD=BC=12$ ס"מ.

האם במנגנון הזה המרובע $ABCD$ יכול להיות מקבילית? נמקו. האם אפשר להשתמש בנימוק של סעיף ב כדי להבטיח שדופן המגש תישאר אנכית?

נתון בנוסף: $AB\parallel DC$. הוכיחו ש-$ABCD$ מקבילית.

במקום הנתון של סעיף א נתון: $\angle ABD=\angle CDB$. הוכיחו שגם במקרה הזה $ABCD$ מקבילית.

עכשיו בודקים את הנתון $AB=CD$. במערכת הצירים שלפניכם המרובע $ABCD$: $A(1,1)$, $B(3,4)$, $C(9,3)$, $D(6,1)$. האלכסונים שלו נחתכים בנקודה $O(5,2)$. כל משבצת היא יחידת אורך אחת.

1. הראו בעזרת המשבצות ש-$O$ היא אמצע האלכסון $AC$.

2. הראו בעזרת משפט פיתגורס ש-$AB=CD$.

3. הראו ש-$ABCD$ אינו מקבילית. מה אפשר להסיק על הנתון $AB=CD$?

עכשיו בודקים את הנתון: שטח $\triangle ABD$ שווה לשטח $\triangle CBD$.

1. חשבו את שני השטחים במרובע של סעיף ג.

2. הוכיחו שבכל מרובע $ABCD$ שבו האלכסונים נחתכים ב-$O$ ו-$AO=OC$, שטח $\triangle ABD$ שווה לשטח $\triangle CBD$.

3. האם הנתונים $AO=OC$ ו"שטח $\triangle ABD$ שווה לשטח $\triangle CBD$" מבטיחים ש-$ABCD$ מקבילית? נמקו.

הוכיחו ש-$\triangle EBF\cong\triangle GDH$.

הוכיחו ש-$EFGH$ מקבילית.

דרך נוספת: נסמן ב-$O$ את נקודת המפגש של האלכסונים $AC$ ו-$BD$ של $ABCD$.

הוכיחו ש-$AECG$ מקבילית, והסיקו ש-$O$ היא אמצע הקטע $EG$. הסבירו איך מכאן מקבלים הוכחה שנייה לכך ש-$EFGH$ מקבילית.

עכשיו כל צלע הוארכה באורך של עצמה: $BE=AB$, $CF=BC$, $DG=CD$, $AH=DA$. שטח המקבילית $ABCD$ הוא $24$ סמ"ר.

חשבו את שטח המקבילית $EFGH$.

הדרכה: השוו את שטח המשולש $EBC$ לשטח המשולש $ABC$, ואחר כך את שטח המשולש $EBF$ לשטח המשולש $EBC$.