מבחן לדוגמה: מרובעים במערכת צירים - כיתה ט'

גיל כתב: "השטח של $PQRS$ הוא $26$ יחידות ריבועיות." איזה גודל של המלבן גיל חישב במקום השטח? חשבו את השטח, וכתבו את היחידה המתאימה לכל אחד משני המספרים.

צלע אחת של מלבן אחר היא $3$ יחידות. מה צריך להיות האורך של הצלע הסמוכה, כדי שהמספר של השטח יהיה שווה למספר של ההיקף? האם יש גם ריבוע שהמספר של השטח שלו שווה למספר של ההיקף? אם כן, מה אורך הצלע שלו?

הראו בעזרת שיפועים ש-$ABCD$ מקבילית. חשבו את האורכים של האלכסונים $AC$ ו-$BD$, והסבירו למה $ABCD$ מלבן.

מצאו את המשוואות של הישרים $AC$ ו-$BD$, ואת נקודת המפגש שלהם $M$. חשבו את המרחקים $MA$, $MB$, $MC$ ו-$MD$. מה מראות התוצאות על האלכסונים?

חשבו את האורכים של $AB$ ושל $BC$, ואת שטח המלבן בעזרת האלכסון $BD$ (שני משולשים). נועה אומרת: "האלכסונים של $ABCD$ שווים, ולכן הוא ריבוע." הסבירו למה היא טועה.

חשבו את האורך $AH$, ומצאו את השיעורים של $A$ ושל $C$.

מצאו את שיעורי $D$ ונמקו. חשבו את שטח המעוין.

מצאו את משוואות הישרים שעליהם מונחים האלכסונים $AC$ ו-$BD$, ואת נקודת החיתוך שלהם $M$. בדקו בעזרת משפט פיתגורס ש-$AM=MC$.

מצאו את השיעורים של $L$ ושל $N$, את אורכי הצלעות של המלבן ואת אורך האלכסון $KM$.

הסבירו בעזרת תכונות האלכסונים במלבן למה המשולש $KSL$ שווה שוקיים, וחשבו את היקפו. היעזרו בגובה מ-$S$ לצלע $KL$ ובגובה מ-$S$ לצלע $LM$, ומצאו את שיעורי $S$.

חשבו את שטח המשולש $LSM$. הסבירו למה הוא רבע משטח המלבן.

מצאו את משוואת הישר שעליו מונח האלכסון $KM$, ובדקו שהנקודה $S$ נמצאת עליו.

למלבן אחר, $ABCD$, צלעות מקבילות לצירים, והאלכסונים שלו נחתכים בראשית הצירים. $A(-6,2)$ הוא הקודקוד השמאלי העליון, $B$ נמצא מימין ל-$A$, ו-$C$ הוא הקודקוד הנגדי ל-$A$. מצאו את השיעורים של $B$, $C$ ו-$D$, את משוואת האלכסון $AC$ ואת אורכו.

תארו במילים את הקבוצה $A$ ואת הקבוצה $B$, וסרטטו אותן במערכת צירים. מצאו את כל הנקודות ששייכות לשתי הקבוצות. הראו שהן קודקודים של מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, וחשבו את ההיקף ואת השטח שלו.

משאירים את הקבוצה $A$, ומחליפים את הקבוצה $B$: במקום המרחק $2$ מציר ה-$x$ בוחרים מרחק אחר (אפשר גם $0$).

(1) כמה נקודות משותפות יש לשתי הקבוצות? האם התשובה תלויה במרחק שבוחרים?

(2) איזה מרחק מציר ה-$x$ צריך לבחור כדי שהנקודות המשותפות יהיו קודקודים של ריבוע? ואיזה מרחק, כדי שיהיו קודקודים של מלבן ששטחו $60$ יחידות ריבועיות?

הוכיחו ש-$OB=OD$ ושהמרובע $ABCD$ הוא דלתון.

מצאו את השיעורים של $Q$ ושל $S$. נמקו.

נתון גם: $OD=6$. מצאו את משוואות הישרים $AD$ ו-$CD$, ואת השיעורים של $A$ ושל $C$.

חשבו את אורכי האלכסונים $AC$ ו-$BD$, את שטח הדלתון ואת היקפו (בקירוב של שתי ספרות אחרי הנקודה).

גיל אומר: "בדלתון $ABCD$ האלכסונים שווים ומאונכים זה לזה, ולכן הוא ריבוע." האם גיל צודק? נמקו.