מבחן לדוגמה: מקבילית: הגדרה ותכונות הצלעות, הזוויות והאלכסונים - כיתה ט'

בכל מקרה $ABCD$ היא מקבילית. חשבו את ארבע הזוויות של המקבילית (ובמקרים 1 ו-2 גם את $x$).

1. $\angle A=3x$, $\angle B=x+20$ (במעלות).

2. ממשיכים את הצלע $DC$ מעבר ל-$C$ עד הנקודה $E$. נתון (במעלות): $\angle BCE=2x-10$, $\angle ABC=x+35$.

3. הזווית $\angle B$ גדולה מהזווית $\angle C$ ב-$48^\circ$.

$PQRS$ היא מקבילית. אורכי הצלעות בס"מ: $PQ=2y+5$, $QR=y+3$, $RS=4y-9$. חשבו את $y$, את אורכי ארבע הצלעות ואת היקף המקבילית.

חשבו את אורך האלכסון $BD$.

הסבירו למה $BD$ הוא הגובה של המקבילית לצלע $AD$, וגם לצלע $BC$. חשבו את שטח המקבילית ואת שטח המשולש $BCD$.

$DH$ הוא הגובה של המקבילית לצלע $AB$. חשבו את $DH$ ואת היקף המקבילית.

$KLMN$ היא מקבילית, והאלכסונים שלה נחתכים בנקודה $O$. היקף המקבילית $44$ ס"מ, ו-$LM=9$ ס"מ.

האורכים בס"מ: $KO=3y-2$, $OM=y+6$, $ON=2y-3$.

חשבו את היקף המשולש $KOL$.

1. האם ייתכן שבמקבילית אורך אחת הצלעות $20$ ס"מ, ואורכי האלכסונים $16$ ס"מ ו-$22$ ס"מ? נמקו.

2. הסבירו מדוע בכל מקבילית שאורכי האלכסונים שלה $16$ ס"מ ו-$22$ ס"מ, כל צלע ארוכה מ-$3$ ס"מ וקצרה מ-$19$ ס"מ.

הוכיחו: $\angle APD=90^\circ$.

נתון: $\angle ADC=64^\circ$. חשבו את הזוויות של המשולש $PMD$ ואת הזוויות של המשולש $AMP$.

הוכיחו שבכל מקבילית כזו (לא רק כאשר $\angle ADC=64^\circ$) מתקיים $PM\parallel DC$.

הוכיחו: $PK=PL$.

במקבילית כזו נתון בנוסף: $LP=LM$, והזווית $\angle PLM$ גדולה פי $5$ מהזווית $\angle PKL$. חשבו את הזוויות של המקבילית.

בלי לחשב את $BK$, קבעו אם הוא ארוך מ-$DH$ או קצר ממנו. הסבירו.

עומר טוען: "$BK=10$ ס"מ." הפריכו את הטענה בעזרת שטח המקבילית שמחושב בשתי דרכים, ומצאו את $BK$. כתבו כלל: איך בודקים אם אורך שמישהו מציע לגובה לצלע $AD$ יכול להיות נכון?

במקבילית אחרת, $PQRS$, הגובה לצלע $PQ$ הוא $6$ ס"מ, והגובה לצלע $PS$ הוא $9$ ס"מ, כמו ב-$ABCD$. אבל $PQ\ne 12$ ס"מ. מה היחס $PQ:PS$? תנו דוגמה לאורכי הצלעות של מקבילית כזאת, ומצאו את האורך הקטן ביותר האפשרי של $PS$. איזו מקבילית מתקבלת אז? (רמז: השוו את הגובה לצלע $PQ$ עם $PS$.)

במקבילית $ABCD$ השטח $72$ סמ"ר, ואילו $AB\cdot AD=96$. הסבירו למה במקבילית שאינה מלבן השטח תמיד קטן מהמכפלה של שתי צלעות סמוכות, ומתי מתקבל שוויון.