שאלות פתוחות: מקבילית: הגדרה ותכונות הצלעות, הזוויות והאלכסונים - כיתה ט'

במקבילית $ABCD$ נתון: $\angle DAB=5x-12$, $\angle ABC=2x+3$.

הסבירו איזו משוואה מתאימה לנתונים, מצאו את $x$, וחשבו את ארבע הזוויות של המקבילית.

במקבילית $PQRS$ נתון: $\angle SPQ=3y+20$, $\angle QRS=5y-16$.

נועה כתבה את המשוואה $(3y+20)+(5y-16)=180$.

(1) מה הטעות של נועה? כתבו משוואה נכונה, מצאו את $y$, וחשבו את כל הזוויות של המקבילית.

(2) הראו שהערך של $y$ שנועה מקבלת נותן זוויות $\angle SPQ$ ו-$\angle QRS$ שאינן שוות, ולכן הוא אינו יכול להתאים למקבילית.

$ABCD$ היא מקבילית. הזווית $\angle DAB$ גדולה ב-$44^\circ$ מהזווית $\angle ABC$.

(1) קבעו אם $\angle DAB$ ו-$\angle ABC$ הן זוויות סמוכות או זוויות נגדיות במקבילית, וכתבו מה נובע מכך על הגדלים שלהן. נמקו.

(2) מצאו את ארבע הזוויות של המקבילית.

$KLMN$ היא מקבילית, ו-$KM$ הוא אלכסון שלה. נתון (במעלות): $\angle LKM=2x+9$, $\angle KMN=4x-27$. נתון גם: $\angle MKN=38^\circ$.

(1) איזו משוואה מתאימה לנתונים: $2x+9=4x-27$ או $(2x+9)+(4x-27)=180$? נמקו, ומצאו את $x$ ואת $\angle LKM$.

(2) חשבו את $\angle LKN$ ואת $\angle KLM$.

הוכיחו ש-$DE=b$ וש-$CF=b$. הביעו את $EF$ באמצעות $a$ ו-$b$ בכל אחד משני המקרים: $2b<a$ ו-$2b>a$. באיזה מקרה החוצים עצמם (ולא המשכיהם) נחתכים בתוך המקבילית? נמקו.

היקף המקבילית הוא $54$ ס"מ, ו-$EF=3$ ס"מ. מצאו את כל האפשרויות לאורכי הצלעות $a$ ו-$b$. בדקו שכל אפשרות מקיימת את התנאי $a>b$ ואת התנאי של המקרה שבחרתם.

(1) $H$ היא נקודת החיתוך של חוצה הזווית $\angle BCD$ עם הצלע $AB$. הוכיחו: $AE\parallel CH$. כלומר, בכל מקבילית (שבה $E$ על הצלע $DC$) חוצי שתי זוויות נגדיות מקבילים.

(2) $BK$ הוא חוצה הזווית החיצונית שליד הקודקוד $B$ (הזווית בין $BC$ להמשך של $AB$ מעבר ל-$B$). הוכיחו: $BK\perp BF$.

מצאו את $t$, וחשבו את אורכי שני האלכסונים. נמקו.

היקף המשולש $AOB$ הוא $30$ ס"מ, והיקף המשולש $BOC$ הוא $24$ ס"מ. חשבו את אורכי הצלעות $AB$ ו-$BC$ ואת היקף המקבילית.

שלוש טענות על האלכסונים של מקבילית:

(1) האלכסונים שווים זה לזה.

(2) האלכסונים חוצים זה את זה.

(3) האלכסונים מאונכים זה לזה.

איזו מהטענות מתקיימת בכל מקבילית? כל טענה אחרת הפריכו בעזרת המספרים של המקבילית $ABCD$. כדי לבדוק את טענה (3), הניחו ש-$\angle BOC=90^\circ$, והשוו את מה שנותן משפט פיתגורס במשולש $BOC$ לאורך של $BC$.

חשבו את ההיקף של כל אחד מהמשולשים $AOB$, $BOC$ ו-$COD$. לאילו מהם אותו היקף?

הסבירו למה בכל מקבילית $ABCD$ שבה $AB>BC$, ההיקף של $\triangle AOB$ גדול מההיקף של $\triangle BOC$ בדיוק ב-$AB-BC$. בדקו זאת בתוצאות של סעיף א.

הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $DC$.

הוכיחו ששטח המשולש $ABE$ הוא $\frac{S}{2}$, בכל מקום של $E$ על הצלע $DC$.

האלכסונים נחתכים בנקודה $O$.

הוכיחו שהאלכסונים מחלקים את המקבילית לארבעה משולשים שווי שטח. מה השטח של כל אחד מהם?

הנקודה $P$ נמצאת בתוך המקבילית.

הוכיחו: $S_{PAB}+S_{PCD}=\frac{S}{2}$, וגם $S_{PBC}+S_{PDA}=\frac{S}{2}$.

נתון: $AB=12$ ס"מ, והמרחק בין הצלעות $AB$ ו-$DC$ הוא $7$ ס"מ. עבור נקודה $P$ מסוימת בתוך המקבילית: $S_{PAB}=15$ סמ"ר ו-$S_{PBC}=20$ סמ"ר.

חשבו את $S_{PCD}$ ואת $S_{PDA}$. מה המרחק של $P$ מהצלע $DC$?

קבעו לכל טענה אם היא נכונה בכל מקבילית, ונמקו. אם טענה אינה נכונה תמיד, הראו זאת במקבילית שבה $AB=12$ ס"מ ו-$BC=8$ ס"מ.

(1) האלכסונים מחלקים את המקבילית לארבעה משולשים חופפים.

(2) המשולשים $AOB$ ו-$COD$ חופפים.

הוכיחו: $\angle AGB=90^\circ$.

נתון: $AB=15$ ס"מ, $AD=9$ ס"מ. הוכיחו ש-$DE=AD$ וש-$CF=BC$, וחשבו את $DE$, את $DF$ ואת $EF$.

במקבילית אחרת עם אותה צלע $AB=15$ ס"מ בונים את אותם חוצי זוויות. מה צריך להיות האורך של $AD$ כדי שהנקודות $E$ ו-$F$ יתלכדו? היכן נמצאת אז הנקודה $G$, ומה סוג המשולש $AGB$? נמקו.

השלימו את הנימוקים בטבלה, וחשבו את $DE$ ואת $EC$.

נתון גם: $\angle ADC=110^\circ$. חשבו את הזוויות של המשולש $ADE$ ואת $\angle AEC$.

בלי לחשב את $BK$, קבעו אם הוא ארוך מ-$DH$ או קצר ממנו. הסבירו.

עומר טוען: "$BK=10$ ס"מ." הפריכו את הטענה בעזרת שטח המקבילית שמחושב בשתי דרכים, ומצאו את $BK$. כתבו כלל: איך בודקים אם אורך שמישהו מציע לגובה לצלע $AD$ יכול להיות נכון?

במקבילית אחרת, $PQRS$, הגובה לצלע $PQ$ הוא $6$ ס"מ, והגובה לצלע $PS$ הוא $9$ ס"מ, כמו ב-$ABCD$. אבל $PQ\ne 12$ ס"מ. מה היחס $PQ:PS$? תנו דוגמה לאורכי הצלעות של מקבילית כזאת, ומצאו את האורך הקטן ביותר האפשרי של $PS$. איזו מקבילית מתקבלת אז? (רמז: השוו את הגובה לצלע $PQ$ עם $PS$.)

במקבילית $ABCD$ השטח $72$ סמ"ר, ואילו $AB\cdot AD=96$. הסבירו למה במקבילית שאינה מלבן השטח תמיד קטן מהמכפלה של שתי צלעות סמוכות, ומתי מתקבל שוויון.

חשבו את $DH$ ואת שטח המקבילית.

הסבירו למה הנקודה $K$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ מעבר ל-$B$, ולמה $BK=AH$. חשבו את אורכי האלכסונים $BD$ ו-$AC$. (אם התשובה אינה מספר שלם, השאירו אותה עם שורש.)

חשבו את הגובה לצלע $AD$.